9. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Связь дифференцируемости и непрерывности.

Произво́дная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием.

y=f(x), х €D(f), х+∆x €D(f) ∆y=f(x+∆x)-f(x)

Опр. lim(∆x→0) ∆y/∆x наз производной данной ф-ции, (обозначается f'(x), y'_x, dy/dx, df(x)/dx)

y'=lim(∆x→0) ∆y/∆x

y'=lim(∆x→0) (f(x+∆x)-f(x))/ ∆x

Физический смысл производной

y=f(x) определяет скорость изменения ф-ции в момент х

Геометрический смысл

f(x )=tg – угловой коэффициент касательной

Дифференцируемость ф-ции. Связь диффер-ти и непрерывности

П роизводная f'(x₀) функции f в точке x₀, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x₀ тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

Для дифференцируемой в x₀ функции f в окрестности U(x₀) справедливо представление

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀) + o(x − x₀) при

По опр y'=lim(∆x→0) ∆y/∆x

Опр. Ф-я y=f(x) наз дифференцируемой в т х, если в этой т-ке существует производная в этой точке.

Ф-ция наз диффер-емой на отрезке [а,b], если она диф-ма в каждой т-ке этого отрезка.

Теорема (связь между диф-тью. и непрерывностью в т.)

Если ф-я диф-ма в т.х , то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно!

10. Основные правила дифференцирования.

Пусть ф-ции u=u(x) и v=v(x) дифф-мые ф-ции.

1.(u±v)' =u'±v'. Док-во для разности f(x)=u(x)-v(x). Найдем приращение из y+∆y=u+∆u-(v+∆v),

∆y=(u+∆u)-(v+∆v)-(u-v)+ ∆u-∆v и вычислим предел lim(∆x→0) ∆y/∆x=lim(∆x→0) (∆u-∆v)/ ∆x=

lim(∆x→0) ∆u/∆x-lim(∆x→0) ∆v/∆x=u'(x)-v'(x).

2.(u v)'=v'u*u'v. Док-во. Рассмотрим произведение 2-х ф-ций f(x)=uv и предположим, что ф-ции u(x) и v(x) дифференцир-мы, тогда y+∆y=(u+∆u)*(v+∆v). Найдем приращение произведения и вычислим предел

lim(∆x→0) ∆y/∆x=lim(∆x→0) ((u+ ∆u)(v+∆v)-uv)/ ∆x=lim(∆x→0) (uv+v∆u+u∆v+∆u∆v-uv)/ ∆x=v*lim(∆x→0) ∆u/∆x+u*lim(∆x→0) ∆v/∆x+lim(∆x→0) ∆u∆v/∆x=u'v+v'u

Т.к. произведение есть бесконечно малая более высокого порядка, чем приращение, поэтому последний предел =0. А два первых предела по определению есть производные.

3.(u/v)'=( u'v-v'u)/v². Док-во Рассм. частное двух ф-ций y=u(x)/v(x), v(x) ≠ 0 и предположим, что ф-ции u(x) и v(x) диф-мы. Приращению аргумента соответствует значение ф-ции x+∆x =>y+∆y, которое = y+∆y=(u+∆u)/(v+∆v). Тогда приращение частного 2-х ф-ции представляется в виде ∆y=(u+∆u)/(v+∆v)-u/v. Найдем производную y'=lim(∆x→0) ∆y/∆x=(u/v)'=lim(∆x→0) (uv+v∆u-uv-u∆v)/ ∆x(v∆v)v .