Свойства пределов.

Т.а.. Если и - п.и, и , а , то .

Т.е.

Док-во.

Пусть , а где и - бесконечно малые п.и.

Тогда . Т.к. А+В – константа, а - б.м., как сумма бесконечно малых, то п. сходится к А+В.

Аналогично доказывается, что п. сходится к АВ.

Т.а. Если и - п.и, и , а , то .Т.е.

Док-во.

Пусть , а где и - бесконечно малые п.и.

Тогда . Т.к. – константа, а , и - бесконечно малые, то п. сходится к .

Т.а.. Если и - п.и, и , а , и начиная с некоторого номера N₁, , то . Т.е.

Док-во.

Пусть , а где и - бесконечно малые п.и и начиная с некоторого номера N₁ , а начиная с некоторого номера N₂ . Пусть N – наибольший из N₁ и N₂.

Тогда начиная с N . Т.к. и – константы, а , , и - бесконечно малые п.и, то п. сходится к .

2. Предел ф.И в точке по Гейне, по Коши; геометрический смысл предела ф.И в точке; т.А о связи между ф.Ей, ее пределом и б.М. ; т.Ы о пределах ф.Й.

Понятие предела ф.и является обобщением понятия предела п.и, т.к. предел п.и можно рассматривать как предел ф.и целочисленного аргумента n.

Пусть дана ф. и пусть a - предельная точка области определения этой ф.и ( ), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества , отличные от a. Точка a может принадлежать множеству , а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется пределом ф.и при x  a, если для всякой п.и значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им п.и имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела ф.и по Гейне, или “ на языке п.ей ”.

Определение 2 . Постоянное число А называется пределом ф.и при x  a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число , можно найти такое (зависящее от ), что для всех x, лежащих в  окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству , или , значения ф.и будут лежать в  окрестности числа А, т.е. удовлетворять неравенству , или .

Это определение называют определением предела ф.и по Коши, или “на языке “.

Определения 1 и 2 равносильны. Если ф. при x  a имеет предел, равный А, это записывается в виде .

Определение через бесконечно малую.

Число A называется пределом ф.и f(x) при x , если существует б.м. (при x ) ф. a(x) такая, что f(x)=A+ a(x).

Т.а. Если ф. y=f(x) представима при x→ в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .

Обратно, если , то f (x)=b+α(x), где a(x) – б.м. при x→a.

Док-во.

1. Из равенства f(x)=b+α(x) следует |f(x) – b|=|α(x)|. Но т.к. a(x) – б.м., то при произвольном ε найдется такое значение M>0, что при всех x, таких, что |x|>M значения a(x) удовлетворяют неравенству |α(x)|<ε. Тогда |f(x) – b|< ε. А это и значит, что .

2. Если , то значит, при любом ε>0 найдется такое значение M>0, что при всех x, таких, что |x|>M будет выполняться условие |f(x) – b|< ε. Если обозначить f(x) – b= α(x), то, при любом ε>0 для того же значения M, при всех x, таких, что |x|>M, будет выполняться условие |α(x)|<ε, а это значит, что α(x) – б.м., тогда f(x)=b+ (x), что и требовалось доказать.