5. Что такое обратная матрица?

Обратная матрица - такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Обратную матрицу   можно найти по следующей формуле:

, где   – определитель матрицы  ,   – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  .

6. Найти обратную матрицу по варианту

Обратную матрицу можно найти только для квадратной матрицы, определитель которой не равен нулю. Найдем обратную матриц методом Гасусса, т. е. достраиваем заданную квадратную матрицу единичной квадратной матрице справа и при помощи элементарных преобразований делаем так, чтобы единичная матрица получилась слева, тогда получившаяся матрица справа будет обратной к заданной.

Определитель заданной матрицы равен:

Определитель не равен нулю, следовательно обратная матрица существует.

Допишем к исходной матрице единичную матрицу справа.

Начнем приведение левой квадратной матрицы к единичному виду. При помощи элементарных преобразований уберем все коэффициенты ниже главной диагонали.

Вычтем 1 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее.

Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее.

Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1.

Приведем все коэффициенты выше главной диагонали к 0, при помощи элементарных преобразований.

Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее.

Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее.

В результате получаем путем перемещения единичной матрицы из правой части в левую, при этом не нарушив ни одного правила работы с матрицей. 

Это обратная матрица к заданной:

7. Найти неизвестный вектор Х из матричного уравнения АХ=В, где А – квадратная матрица, В – вектор.

Составим систему уравнений.

Решение.

Определитель матрицы А был найден ранее.

Определитель главной матрицы системы уравнений не равен нулю, следовательно данная система уравнений имеет единственное решение. Найдем его. Достроим главный определитель системы уравнений еще одним столбцом, в который вставим значения за знаком равенства.

Теперь последовательно, при помощи элементарных преобразований преобразуем левую часть матрицы (3 × 3) до треугольного вида (обнулим все коэффициенты находящиеся не на главной диагонали, а коэффициенты на главной диагонали преобразуем до единиц).

Вычтем 1 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее.

Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее.

Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее.

Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее.

Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1.

Ответ:

Числа, получившиеся правее единичной матрицы являются решением системы уравнений, т.е.:

8. Вычислить билинейную форму Z = XAY, где А – квадратная матрица, X и Y – векторы, соответственно первый и третий столбцы заданной матрицы.

Если A - это квадратная матрица, а Х и Y — вектора соответствующей размерности, то скалярное произведение вида   называется билинейной формой, определяемой матрицей A.

Определим , т.е. транспонированный вектор Х:

=

Произведя операции умножения согласно теореме о скалярном произведении векторов, получим: