13. Стандартная ошибка регрессии, стандартные ошибки оценок параметров модели парной линейной регрессии, их свойства.

Стандартная ошибка является оценкой среднего квадратичного отклонения коэффициента регрессии от его истинного значения. Позволяет получить некоторое представление о форме функции плотности вероятности, однако не несет информации о том, находится ли полученная оценка в середине распределения (то есть является точной).

Воздействие неучтенных случайных факторов и ошибок наблюдений в модели

= + определяется с помощью дисперсии возмущений (ошибок) или остаточной дисперсии . Несмещенной оценкой этой дисперсии является выборочная остаточная дисперсия

Где – групповая средняя найденная по уравнению регрессии, = - – выборочная оценка возмущения или остаток регрессии.

Дисперсии оценок коэффициентов уравнения регрессии могут быть вычислены по формулам:

= = *

Случайные ошибки наблюдений образуют последовательность СВ {Ei}, обладающих следующими свойствами:

• Случайные ошибки центрированы, то есть математическое ожидание ошибки каждого наблюдения равна 0, M(Ei)=0

• Случайные ошибки разных наблюдений не корелированы, r=0, Cov (Ei, Ej) = 0

Это означает независимость измерений результирующего показателя. Ошибка определения амплитуды для одного наблюдения не влияет на амплитуду случайной ошибки другого наблюдения.

• Дисперсия случайной ошибки есть величина известная и постоянная D (E) = M (E^2) – M^2(E) = = σ^2

Случайная величина, дисперсия которой не зависит от номера наблюдения обладает свойством ГОМОСКЕДАСТИЧНОСТЬ. Если это свойство нарушается, то ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТЬ.

• Случайные ошибки подчинены нормальному закону распределению вероятностей с нулевым средним (математическим ожиданием) и постоянной дисперсии.

14/ Оценивание значимости коэффициентов выборочной функции парной линейно регрессии с помощью т-критерия Стьюдента.

Есть2 подхода к процедуре статистического оценивания:

• оценивание доверительных интервалов, которые с заданной вероятностью ошибки содержат истинные значения коэффициентов b₀ и b₁.

Доверительным интервалом для коэффициетаb1 функции регрессии называется множество значений [b1-d, b1+d], которому с заданным уровнем значимости (1-α) принадлежит истинное значение коэффициента b1 и внутри которого находится сама выборочная оценка b1 со шляпкой. d-положительная по знаку статистика, рассчитываемая по формуле

t_n-2,α/2 – критическое значение t-распределения Стьюдента с n-2 степенями свободы при уровне значимости α/2.

Аналогично доверительным интервалом для коэффициента b0 называется множество значений [b₀- t_n-2,α/2*σ _b0, b₀+ t_n-2,α/2* σ _b0], который с заданным уровнем надежности (1-α) принадлежит истинное значение коэффициента b₀ и внутри которого также находится сама выборочная оценка b₀.

• проверка статистических гипотез о значимости оценок b₀ и b_1.

Компоненты статистического теста:

1. 2 противоположные гипотезы о коэффициентах модели

а) Н₀: b₁=0

б) Н₁: b₁≠0

2) проверочная статистика, которая рассчитывается по выборке и представляет собой случайную величину. Подходящие проверочные статистики для МНК-оценок коэффициентов , являются Т-статистики, имеющие t-распределение Стьюдента с n-2 степенями свободы.

3) правило, в соответствии с которым принимается решение об отклонении или принятии гипотезы Н0