5.Ковариация. Коэффициент корреляции. Свойства.

Между случайными величинами может существовать функциональная взаимосвязь (например,  = 2 или  = ²), однако может существовать и взаимосвязь другого рода: например, закон распределения одной случайной величины может меняться в зависимости от значений, принимаемых другой случайной величиной. Такую взаимосвязь называют вероятностной или стохастической. Одной из числовых характеристик такой взаимосвязи является ковариация случайных величин.

О п р е д е л е н и е. Ковариацией случайных величин  и  называется число: cov(, ) = М( - М)( - М).

С учетом этого D(  ) = M ((  ) - M (  ))² = M(( - M)  ( - M))² = M( - M)² + M( - M)²  2M( - M)( - M) = = D + D 2 cov(, ). (5.5)

Более удобную формулу для вычисления ковариации можно получить с использованием свойств математического ожидания: cov(, ) = М( - М)( - М) = М( - М - М + ММ) = М - ММ - ММ + ММ = М - ММ,

т. е. Cov(, ) = М - ММ. (5.6)

Ковариация между случайными величинами зависит от единиц их измерения, поэтому иногда вызывает трудности при интерпретации. Введем безразмерную величину, определяющую меру стохастической взаимосвязи между случайными величинами.

Оп р е д е л е н и е. Если D > 0, D > 0, то число (, ) = называется коэффициентом корреляции случайных величин  и .

Можно показать, что (, )  1 и если (, ) = 1, то  и  линейно зависимы.

Если  и  независимы, то по свойству математического ожидания М = ММ и, согласно (5.6), cov(, ) = 0. В этом случае говорят о некоррелированности случайных величин  и .

Если  и  независимы, то по свойству дисперсии D(  ) = D + D, однако для выполнения этого равенства, согласно (5.5), достаточно более слабого требования к случайным величинам  и : их некоррелированности, т. е. равенства нулю ковариации.

Положительная корреляция между случайными величинами  и  (cov(, ) > 0) означает: при возрастании одной из случайных величин другая имеет тенденцию возрастать; отрицательная корреляция (cov(, ) < 0) означает: при возрастании одной из случайных величин другая имеет тенденцию убывать; некоррелированность (cov(, ) = 0) есть отсутствие прямой (линейной) связи между случайными величинами.

6.Центральная предельная теорема.

Центральная предельная теорема дает возможность считать, что в определенных случаях функция распределения должна быть нормальной. При этом определение неизвестной функции распределения сводится к определению по результатам наблюдений только неизвестных значений параметров а и ². Общая задача ставится так: случайная величина  имеет функцию распределения определенного вида, зависящую от k параметров, значения которых неизвестны. На основании последовательных наблюдений величины  нужно найти значения этих параметров. Пусть ₁, ₂, …- последовательность независимых случайных величин. Говорят, что для этой последовательности выполняется центральная предельная теорема, если при любом х справедливо предельное соотношение для сумм _n = ₁ + ₂ + … + _n:

Р . (7.4)

Для справедливости центральной предельной теоремы (7.4) на случайные величины ₁, ₂, … надо налагать те или иные дополнительные условия. Приведем центральную предельную теорему для независимых одинаково распределенных случайных величин.

Т е о р е м а. Если случайные величины ₁, ₂, … независимы, одинаково распределены и имеют конечные М_I = a и D_I = ² > 0, то Р .

Интегральная предельная теорема Муавра – Лапласа послужила источником большого цикла исследований, имеющих фундаментальное значение для теории вероятностей и ее приложений.

И н т е г р а л ь н а я т е о р е м а Муавра – Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступлений события А в n независимых испытаниях заключено в отрезке [m₁, m₂], при достаточно большом n приближенно равна

P_n(m₁  m  m₂)  - , (4.7)

Где р – вероятность успеха, а q = 1 – p – вероятность неудачи (в каждом испытании), Ф(х) = - функция Лапласа. Придадим этой теореме несколько иную форму. Пусть _k – число наступлений события А в k-м испытании Бернулли , тогда  = - число наступлений события А в n испытаниях. Повторные независимые испытания, проводящиеся в одинаковых условиях, называются испытаниями Бернулли, если в каждом из них возможны только два исхода: успех (если интересующее нас событие произошло) и неудача (если оно не произошло), причем вероятность успеха (а следовательно, и неудачи) не меняется от испытания к испытанию.

Формула Бернулли: Вероятность того, что в n испытаниях Бернулли произошло ровно m успехов, равна P_n(m) = p ^m q ^{n – m} . При доказательстве теоремы Бернулли мы показали: М_k = р, D_k = pq, тогда М = np, D = npq и теорема Муавра – Лапласа может быть записана следующим образом:Р . (7.3)

Результат (7.3) при a = - , b = x Р

является частным случаем центральной предельной теоремы.