1.1 Нахождение передаточной функции

Найдем передаточную функцию разомкнутой САУ.

Для разомкнутой системы:

W (p) = W (p) W (p) W (p) W (p); (1.1)

; (1.2)

По формуле (1.2) найдем :

Найдем передаточные функции замкнутой системы по отношению к возмущающему воздействию и заданию :

; (1.3)

По формуле (1.3) найдем :

; (1.4)

По формуле (1.4) найдем :

; (1.5)

По формуле (1.5) найдем :

1.2 Анализ устойчивости сау. Характеристического уравнения замкнутой системы

Для нахождения характеристического уравнения замкнутой системы сложим полиномы числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы и приравняем сумму к нулю, т.е.

1 + W (p) = 0.

Пусть тогда или

Рассмотрим уравнение для данной работы:

; (1.6)

зная, что ;

.

Из всех вышеперечисленных действий можно составить характеристическое уравнение, сложив все части:

+ =0.

Конечный вид характеристического уравнения замкнутой системы:

. (1.7)

1.3 Алгебраический метод устойчивости Гурвица

Для анализа устойчивости САУ аналитическим методом составим определитель:

.

Необходимое условие устойчивости – положительность всех коэффициентов характеристического уравнения >0, >0, >0, >0 выполняется.

Достаточное условие – положительность всех главных диагональных миноров до n – 1порядка при >0, проверим

;

;

Условие не выполняется, следовательно, замкнутая САУ неустойчива.

1.4 Частотный критерий устойчивости Михайлова

Запишем выражение годографа Михайлова, для этого в характеристическое уравнение подставим

;

Чтобы упростить процесс построения при изменении от 0 до , нужно найти точки его пересечения с вещественной и мнимой осью комплексной плоскости

;

поскольку , ;

;

.

Определим пересечения годографа Михайлова с вещественной осью приравняем к нулю его мнимую часть

;

Из этого уравнения можно сделать вывод, что:

, .

Полученные положительные значения в вещественную часть , находим:

;

.

Далее, приравниваем вещественную часть к нулю:

.

Таким образом получаем:

.

Значение w₂ подставляем в мнимую часть:

.

Поскольку , то чередуемость корней не соблюдается и система управления неустойчива. Убедимся в этом, построив годограф Михайлова по полученным точкам:

Рисунок 2 - Годограф Михайлова

Из рисунка 2 следует, что он начинается с положительной действительной полуоси и последовательно против часовой стрелки не проходит n – квадрантов, при изменении частоты от 0 до . Система неустойчива.

Параметры настройки регулятора, при которых система устойчива. Из двух параметров настройки регулятора оставим постоянным значение Т_и и будем изменять значение К_р. Для этого решим неравенство, путем подстановки в характеристическое уравнение всех коэффициентов, за исключением К_р. Получаем:

(420 К_р +400)*(14 К_р +41)-3500000 >0;

Отсюда сделаем преобразования:

5880 К_р ² + 22820 К_р – 3483600 >0.

К_р>22.47. Выбираем К_р =25. Тогда по критерию Гурвица имеем:

.

Чтобы система считалось устойчивой, нужно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительным, в итоге имеем: >0, >0, >0, >0, значит условие выполняется.

Достаточное условие – положительность всех главных диагональных миноров до n – 1порядка при >0, проверим

;

;

Из этого можно сделать вывод, что система устойчива.

Отклонение регулируемой величины от заданной в установившемся режиме для и .

Находим статическую ошибку системы для параметров настройки регулятора , . На основании принципа суперпозиции, которому подчиняются линейные системы управления реакции, система на несколько воздействий равна сумме реакций на каждое из них:

;

где ;

;

где ;

В итоге получаем:

, .

Подставив соответствующие значения передаточных функций, их коэффициентов и найдя предел, получим составляющие статической ошибки по задающему и возмущающему воздействиям:

.

Вывод: САУ является статической как по задающему, так и по возмущающему воздействиям.