2 Способ. Метод интервалов.

О порная информация:

Метод интервалов – это метод разбиения числовой прямой на промежутки, в которых по определению модуля знак абсолютной величины можно будет снять. Для каждого из промежутков необходимо решить уравнение и сделать вывод относительно получившихся корней. Корни, удовлетворяющие промежуткам, и дадут окончательный ответ.

Пример 3. Решим уравнение |х+3|+|х-1|=6.

Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащегося под знаком модуля: х+3=0, х= -3; х-1=0, х=1. Эти значения х разбивают числовую прямую на три промежутка:

Решим уравнение отдельно в каждом из получившихся промежутков. В первом промежутке (х < -3) оба выражения, стоящие под знаком модуля отрицательны, поэтому при записи уравнения без абсолютной величины знаки этих выражений меняем на противоположные. Получим уравнение:

-х-3-х+1=6. Откуда х= -4. Число -4 является решением данного уравнения, так как оно принадлежит рассматриваемому промежутку. Во втором промежутке (-3 ≤ х < 1) первое выражение положительно, а второе отрицательно. Рассуждая аналогично, получим уравнение: х+1-х+1=6, откуда получаем неверное числовое равенство, то есть в рассматриваемом промежутке уравнение корней не имеет. В последнем промежутке (х ≥ 1) оба выражения положительны, поэтому уравнение записывается так: х+3+х-1=6. Откуда х=2. Это значение удовлетворяет неравенству х ≥ 1. Ответ: -4; 2.

Пример 4. |2-х|=2х+1.

Прежде всего, следует установить область допустимых значений. Возникает естественный вопрос, почему в предыдущих примерах не было необходимости этого делать. В этом уравнении в правой части стоит выражение с переменной, которое может быть отрицательным. Таким образом, область допустимых значений – это промежуток [-½; +∞). Найдем нуль выражения, стоящего под знаком модуля: 2-х=0, х=2.

В первом промежутке: 2-х=2х+1, х=⅓. Это значение принадлежит ОДЗ, значит, является корнем уравнения.

Во втором промежутке: -2+х=2х+1, х= -3. -3 не принадлежит ОДЗ, а следовательно не является корнем уравнения. Ответ: ⅓.

3 Способ. Графический метод.

Суть данного метода заключается в использовании графиков функций для нахождения корней уравнения. Этот метод реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными.

П ример 5. |х+1|=2. Построим графики функций у=|х+1| и у=2.

Для построения графика у=|х+1|, построим график функции у=х+1, а затем отразим часть прямой, лежащую ниже оси ОХ. Абсциссы точек пересечения графиков и есть корни уравнения: х₁=1, х₂= -3. Ответ: 1; -3.

Пример 6. |х²-1|=|4-х²|.

Построим графики функций у=|х²-1| и у=|4-х²|. Для этого построим графики функций у= х²-1 и у=4-х², а затем отобразим часть графиков, лежащую ниже оси ОХ.

х₁≈1,6; х₂≈-1,6.

4 Способ. Метод решения при помощи зависимостей между числами а и в, их модулями и квадратами этих чисел.

Опорная информация:

|а|=|в| а=в или а=-в;

а²=в² а=в или а=-в; (1)

|а|=|в| а²=в² (2)

Пример 7. Решим уравнение |х²-8х+5|=|х²-5|.

Учитывая соотношение (1), получим:

х²-8х+5= х²-5 или х²-8х+5= -х²+5

х=1,25 х=0 или х=4.

Таким образом, корни исходного уравнения: х₁=1,25; х₂=0; х₃=4.

Ответ: 1,25; 0; 4.

Пример 8. |х+3|=|х-5|.

В силу соотношения (2) получаем: (х+3)²=(х-5)²;

х²+6х+9= х²-10х+25;

х=1.

Ответ:1.

Пример 9. (1-3х)²=(х-2)².

Учитывая соотношение (2), получаем: |1-3х|=|х-2|, откуда из соотношения (1), имеем:

1-3х=х-2 или 1-3х= -х+2

х=0,75 х= -0,5.

Ответ: 0,75; -0,5.