2.5.5 Динамическая модель ад в переменных состояния. Математическое описание обобщенной асинхронной машины

Обобщенная асинхронная машина показана на рис 59. Она содержит трехфазную обмотку на статоре и трехфазную обмотку на роторе. Обмотки статора и ротора подключены к симметричным трехфазным источникам напряжения. Математическое описание такой машины базируется на известных законах.

Уравнения равновесия ЭДС на обмотках статора и ротора базируются на втором законе Кирхгофа.

Рис.59 Обобщенная асинхронная машина

Для статора:

(48.1)

Для ротора:

(48.2)

В уравнениях (48.1)и (48.2) фигурируют мгновенные напряжения, токи потокосцепления статора и ротора, а также активное сопротивление обмоток. Обычно обмотки выполняются симметричными, и поэтому - активное сопротивление статорной обмотки, - активное сопротивление роторной обмотки.

Вторым используемым законом является закон Ампера, который связывает потокосцепление обмоток с токами, протекающими по обмоткам:

Для статора:

(48.3)

Для ротора:

(48.4)

Последняя система уравнений для определения потокосцеплений показывает, что потокосцепление каждой обмотки зависит от токов во всех обмотках; и эти зависимости проявляются через взаимоиндукцию. В уравнениях (48.3) и (48.4) , , , , , являются собственными индуктивностями соответствующих обмоток, все остальные - взаимоиндуктивностями между соответствующими обмотками.

Третьим законом, лежащим в основе анализа, является второй закон Ньютона - закон равновесия моментов на валу машины:

, (49)

где - момент инерции на валу машины, учитывающий инерционность как самой машины, так и приведенной к валу инерционности рабочего механизма и редуктора, кГМ²;

- угловая скорость вала машины, ;

- момент рабочего механизма, приведенный к валу, в общем случае, он может быть функцией скорости и угла поворота, Нм.

Наконец, четверым и последним законом, лежащим в основе анализа машины, является закон, сформулированный Ленцем - правило левой руки. Этот закон связывает векторные величины момента, потокосцепления и тока:

(50)

Следует сразу подчеркнуть, что, несмотря на полное и строгое математическое описание, использование уравнений (48) - (50) для исследования машины встречает серьезные трудности:

1) в уравнениях (49) и (50) фигурируют векторные величины, а в уравнениях (48) - скалярные;

2) количество взаимосвязанных уравнений равно 14, а количество коэффициентов - 4;

3) коэффициенты взаимоиндуктивности между обмотками статора и ротора в уравнениях (48.3) и (48.4) является нелинейными, так как в них перемножаются переменные.

На пути упрощения математического описания асинхронной машины, да и вообще всех машин переменного тока, удивительно удачным и изящным оказался метод пространственного вектора, который позволяет существенно упростить и сократить вышеприведенную систему уравнений. Этот метод позволяет связать уравнения (48) - (50) в единую систему с векторными переменными состояния. Суть метода состоит в том, что мгновенные значения симметричных трехфазных переменных состояния (напряжения, тока, потокосцепления) можно математически преобразовать так, чтобы они были представлены одним пространственным вектором. Это математическое преобразование имеет вид (например, для тока статора):

, (51.1)

где , - векторы, учитывающие пространственное смещение обмоток,

,

;

, , - мгновенные значения токов статора,

,

,

.

Подставим в уравнения (51.1) значения мгновенных токов, найдем математическое описание пространственного вектора статора:

(51.2)

На рис.60 представлена геометрическая интерпретация пространственного вектора тока - это вектор на комплексной плоскости с модулем (длиной) , вращающийся с угловой скоростью , в положительном направлении. Проекции вектора на фазные оси А, В, С определяют мгновенные токи в фазах. Аналогично пространственными векторами можно представить все напряжения, токи и потокосцепление, входящие в уравнения (48).

Рис.60 Пространственный вектор тока.

Теперь можно переходить к упрощению уравнений.

Шаг первый. Для преобразования уравнений (48) в мгновенных значениях к уравнениям в пространственных векторах умножим их на выражения, (первый уравнения на , вторые – на , третьи – на )и сложим раздельно для статора и ротора. Тогда получим:

, (52)

где , - собственные индуктивности статора и ротора;

- взаимная индуктивность между статором и ротором.

Таким образом, вместо двенадцати уравнений (48) получено лишь четыре уравнения (52).

Шаг второй. Переменные коэффициенты взаимной индуктивности в уравнениях для потокосцеплений (52) являются результатом того, что уравнения равновесия ЭДС для статора записаны в неподвижной системе координат, связанной со статором, а уравнения равновесия ЭДС для ротора записаны во вращающейся системе координат, связанной с ротором. Метод пространственного вектора позволяет записать эти уравнения в единой системе координат, вращающейся с произвольной скоростью . В этом случае уравнения (52) преобразуются к виду:

, (53)

где ,

- число пар полюсов в машине.

В уравнениях (53) все коэффициен6ты являются величинам постоянными, имеют четкий физический смысл и могут быть определены по паспортным данным двигателя, либо экспериментально.

Шаг третий. Этот шаг связан с определением момента. Момент в уравнении (50) является векторным произведением любой пары векторов. Из уравнения (53) следует, что таких пар может быть шесть , , , , , . Часто в рассмотрение вводится потокосцепление взаимной индукции . В том случае появляется ещё четыре возможности представления электромагнитного момента машины через следующие пары: , , , . После выбора той или иной пары уравнение момента приобретает определённости, а количество уравнений в системе (53) сокращается до двух. Кроме того, в уравнениях (49) и (50) векторные величины момента и скорости могут быть заменены их модульными значениями. Это является следствием того, что пространственные векторы токов и потокосцепления расположены в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а векторы момента и угловой скорости совпадают с осью. В качестве примера покажем запись уравнений момента через некоторые пары переменных состояния машины.

(54)

Шаг четвертый. На этом этапе уравнения (49), (53) и (54) приводят к безразмерным (относительным) величинам. В качестве основных базовых величин набираются амплитудные номинальные значения фазного напряжения и тока, а также номинальные значения угловой частоты:

, , (55.1)

На этой основе определяются базовые значения всех переменных и коэффициентов, входящих в уравнение, а также базового времени:

, , , , (55.2)

В дальнейшем используются только в относительные величины. Обобщенная система уравнений для описания асинхронной машины принимает вид:

(56)

В этих уравнениях все переменные относительные, полученные как результат деления реальных значений на базовые, все коэффициенты также безразмерные, полученные аналогично. Переменные и параметры в относительных единицах:

, , - относительные электромагнитные переменные состояния;

татора и относительная скорость ротора;

- относительный момент на валу машины;

, , , , , - относительные параметры.

В уравнениях (55) время принято безразмерным: , то есть единицей измерения времени является не секунда, а . Следует заметить, что введение относительных величин сокращает время моделирования и позволяет устранить её многие проблемы.

Рассмотрим предварительно вопросы преобразования координат, а затем модели асинхронной машины в различных системах координат и их основные характеристики.