21. Випуклі функції
В математике функция называется выпуклой (или выпуклой вниз) на некотором интервале (в общем случае на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства), если для любых двух точек x, y из этого интервала и для любого числа t, принадлежащего отрезку [0,1], выполняется неравенство
f(tx+(1-t)y)<= t f(x)+(1-t)f(y).
Если это неравенство является строгим для всех t из интервала (0,1), функция называется строго выпуклой; если выполняется обратное неравенство, функция называется вогнутой, или выпуклой вверх.
n мерная функция f(x), определенная на выпуклом множестве D, называется выпуклой функцией тогда и только тогда, когда для любых двух точек x(1) и x(2) принадлежащих D, и любого числа L (0<=L<=1) выполняется неравенство:
f(Lx(1) +(1-L)x(2))<=Lf(x(1))+(1-L)f(x(2))
Проиллюстрируем определение выпуклой функции для случая одной переменной:
Условие
выпулости функции 
запишется
следующим образом:
Функция
выпукла
тогда и только тогда, когда 
, 
, 
22. Точки перегину
Если
функция 
непрерывна в
точке 
и
имеет в этой точке конечную или бесконечную
производную и если 
меняет
знак при переходе через точку
,
то точка
- точка
перегиба функции
.
Если
точка
— точка
перегиба функции
и
если 
в
некоторой окрестности точки
(непрерывная
в точке
),
то 
.
Заметим, что если в окрестности точки x1 функция выпукла вниз, то график функции находится выше касательной, а если в окрестности точки x2 функция выпукла вверх, то график функции находится ниже касательной. В точке перегиба x0 касательная разделяет график - он лежит по разные стороны касательной. (рис. 27).
Рассмотрим пример, иллюстрирующий исследование функции на выпуклость и точки перегиба.
27. Властивості опуклих функцій.
1. 
В
частности: 
2. 
3. Точки любой дуги графика лежат под хордой, стягивающей эту дугу.
4.
Функция f непрерывна
на интервале 
и
имеет в каждой его точке конечные
односторонние производные.
5. Функция f имеет на не более одного локального минимума и не имеет локальных максимумов.
28. Поняття асимптоти вітки кривої та графіка функції.
Асимпто́та криво́ї (грец. ασυμπτωτος — що не збігається, не дотикається) — це пряма, до якої крива при віддаленні в нескінченність наближається як завгодно близько.
Графіком
функції 
називається підмножина декартового
добутку 
на 
(
),
що містить всі пари (x, y), для яких f(x)=y.
Якщо простіше, то це є малюнок, на якому можна побачити як змінюється значення Y в залежності від значення Х.
29. Відшукання вертикальної асимптоти вітки кривої та графіка функції.
Якщо крива, задана рівнянням y = f(x), віддаляється в нескінченність при наближенні x до скінченної точки a, то пряма x = a називається вертикальною асимптотою цієї кривої.
Такими асимптотами є пряма x = 0 для гіперболи y = 1/x кожна з прямих x = kπ (k = 0, ± 1, ± 2, …) для функції у = ctg(x).
Крім вертикальної асимптоти x = 0 гіпербола y = 1/x має ще й горизонтальну асимптоту у = 0, як і графік функції у = е−x sin(х), проте він, на відміну від гіперболи, перетинає свою горизонтальну асимптоту нескінченну кількість раз (+графік).
Криві, що описуються рівняннями х³ + у³ — Заху = 0 (декартів лист) (+графік), та у = 1/х + х мають похилу асимптоту.
Коефіцієнти
k і b в рівнянні прямої у
= kx + b —
похилої асимптоти кривої у = f(x) при
віддаленні до плюс чи мінус нескінченності,
знаходять як границі: 
Прямая линия называется асимптотой кривой , если расстояние точки кривой до этой прямой стремится к нулю при стремлении точки к бесконечности.
Уравнение
любой вертикальной прямой, то есть
прямой, параллельной оси 
,
имеет вид 
.
Если
прямая
является
вертикальной асимптотой графика
функции 
,
то очевидно, что хотя бы один из
односторонних пределов 
или 
равен
бесконечности (
или 
).
Все функции с бесконечными разрывами (разрывы второго рода) имеют вертикальные асимптоты.
30.
Означення
Пряма y = ax + b називається похилою асимптотою функції f на + ∞, якщо
|
.Пряма y = ax + b називається похилою асимптотою функції f на - ∞, якщо
|
.Якщо a = 0, то називаємо пряму y = b горизонтальною асимптотою.