1. Математикалық есептердің түрлері

оқылатын бағдарламаға сәйкесесептер стандарт және стандарт емес есептер, берілуі мен шығарылу тәсіліне қарай графиктік, кестелік, салу, есептеу, дәлелдеу, логикалық, қызықты, ойын есептер, қақпан есептер, математикалық викториналар, софизмдер, сөзтізбектер мен қиылысулар, мәселе есептер, ашық және жабық тестер т.б; мазмұнына қарай пайыздарға, қозғалысқа, қоспаларға, пропорцияға т.б. берілген есептер, статистикалық, дифференциалдық есептер, элементар математикаға, жоғары математикаға берілген есептер, орындалу функциясына қарай белгісіз шаманы табу, теңдеуді, теңсіздікті шешу, функцияның анықталу аймағын, функцияның мәндерінің аймағын табу, күрделілігіне қарай қарапайым, орта, жоғары деңгейлік есептер, конкурстық (олимпиадалық, жарыс) жас ерекшеліктеріне байланысты 1-сыныпқа арналған, 2-сыныпқа арналған т.с.с болып бөлінеді.

2. Математикалық есептерді шығару әдістері.

есептеуді пайдалану, координаталық жүйені пайдалану, математикалық индукцияның қағидасын пайдалану, теріс жору, аддитивтік әдіс, дедукцияны пайдалану, салудың әдістері, стандарт әдіс, стандарт емес әдістер, логикалық ойлау, модель құру, графиктік, координаталық, жоғары математика тұрғысы т.б.

21. Модуль таңбалы теңдеулерді шешу әдістері: модульдің анықтамасын, қасиетін пайдалану, айнымалылардың нольдері мен анықталмайтын нүктелерді белгілеу, модуль таңбасы ішіндегі функциялардың қасиеттерін пайдалану, дәрежеге шығару, графиктік, т.б. Анықтама бойынша:

10. Ньютон биномын есептер шығаруға қолдану.

(1+x)ⁿ=x²A+nx+1. Мұндағы А-дегеніміз n–нен тәуелді қандай да бір оң сан. Немесе:

(a+b)ⁿaⁿ+na^n-1b+ a^n-2b²+...+ a^n-kb^k+…+bⁿ =

Мұндағы: .

13. Паскаль үшбұрышын есептер шығаруға қолдану

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 т.с.с.

Паскаль үшбұрышын Ньютон биномының коэффициенттерін табуға қолдануға мысал келтірейік.

2-мысал.

19. Рационал теңсіздіктерді шешу әдістері: бөлшектердің қасиеттері, интервалдар әдісі, модульдің қасиеттері, функциялардың қасиеттері, анықталу облыстарын ескеру, шешімдердің қиылысуы.

17. Симетриялы жүйелерді шешу әдістері.

Симетриялы жүйелерді шешуде пайдаланылатын көмекші белгісіз енгізу әдістері:

1. x²+y² =(x+y) – 2xy= u² –2v,

2. x³+y³=(x+y)( x²-xy+y²)=u·(u²-2v-v)=u³-3uv,

3. x⁴+y⁴=( x²+y²)²-2(xy)²=(u²-2v)²-2v²=u⁴- 4u²v+2v²,

4. x⁵+y⁵=( x²+y²)(x³+y³)- x²y²(x+y)=(u²-2v)(u³-3uv)-v²u=u⁵-5u³v+5uv²,

5. x²+xy+y²=( x²+2xy+y²)-2xy =(x+y)² –2xy = u²-2v.

5.Стандарт емес есептерді шығару әдістері.

Стандарт емес есептер-жалпы орта білім беретін мектеп математикасының курына енбейтін материалдар бойынша құрылған есептер стандарт емес есептер д.а.

Шығару әдістері: стадарт емес әдістерді пайдалану. Мысалы:

Кошидің теңсіздігі- а₁+а₂+,,,+а_к/к ; к

Коши теңсіздігі- а₁+а₂/2 ;

Бернулли теңсіздігі- х n үшін (1+x)ⁿ

Жуық есептеулер үшін- ^п

Коши-Буняковский теңсіздігі- а оң константасы үшін болғанда (x_iy_i+x₂y₂+…+x_ny_n)²

Санның бүтін бөлігі –саннің өзінен аспайтын ең үлкен бүтін санды санның бүтін бөлігі д.а.

Санның бөлшек бөлігі –сан мен оның бүтін бөлігінің айырмасын санның бөлшек бөлігі д.а.

Ферманың «Үлкен» теоремасы-натурал n көрсеткіші келесі теңдеудің бүтін сандар жиынында шешімі болмайды: х^п+у^п=z^k

Ферма теоремасы:-(а;в) интервалында анықталған функция осы интервалға тиісті х₀ нүктесінде өзінің ең үлкен немесе ең кіші мәніне жететін б,о функцияның осы нүктедегі бірінші туындысы f (х)=0. т.б.

18. Теңсіздіктер жиынтығын шешу әдістері: интервалдар әдісі, модульдің қасиеттері, функциялардың қасиеттері, анықталу облыстарын ескеру, шешімдердің бірігуі.