3. Найти эмпирическую функцию распределения и построить её график.
Рисунок 3 - График функции распределения
4. Вычислить числовые характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса.
Таблица 3
Таблица для расчета числовых характеристик выборки
Середины интервалов Xi |
Частоты ni |
xi-x |
(xi-x)*ni |
(xi-x)^2*ni |
(xi-x)^3*ni |
(xi-x)^4*ni |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
18 |
3 |
-3,04 |
-9,12 |
27,72 |
-84,28 |
256,22 |
19 |
8 |
-2,04 |
-16,32 |
33,29 |
-67,92 |
138,55 |
20 |
18 |
-1,04 |
-18,72 |
19,47 |
-20,25 |
21,06 |
21 |
41 |
-0,04 |
-1,64 |
0,07 |
0,00 |
0,00 |
22 |
18 |
0,96 |
17,28 |
16,59 |
15,93 |
15,29 |
23 |
8 |
1,96 |
15,68 |
30,73 |
60,24 |
118,06 |
24 |
3 |
2,96 |
8,88 |
26,28 |
77,80 |
230,30 |
25 |
1 |
3,96 |
3,96 |
15,68 |
62,10 |
245,91 |
Сумма |
100 |
- |
0 |
169,84 |
43,61 |
1025,39 |
X
Выборочное среднее (X) даёт среднее число высоты сосны
(м.)
Выборочная дисперсия:
Выборочное среднее квадратичное отклонение:
Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса вычисляют по формулам:
– говорит о несимметричности полигона
относительно выборочного среднего X.
Отрицательный знак выборочного
коэффициента асимметрии
свидетельствует о левосторонней
асимметрии данного распределения.
< 0, - это говорит о том, что полигон
менее крут, чем нормальная кривая.
b)
Таблица 4
Таблица для расчета числовых характеристик выборкиXСередины интервалов Yi |
Частоты ni |
yi-y |
(yi-y)*ni |
(yi-y)^2*ni |
(yi-y)^3*ni |
(yi-y)^4*ni |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
25 |
10 |
-31,300 |
-313 |
9796,900 |
-306642,97 |
9597924,961 |
35 |
10 |
-21,300 |
-213 |
4536,900 |
-96635,97 |
2058346,161 |
45 |
17 |
-11,300 |
-192,1 |
2170,730 |
-24529,249 |
277180,5137 |
55 |
24 |
-1,300 |
-31,2 |
40,560 |
-52,728 |
68,5464 |
65 |
15 |
8,700 |
130,5 |
1135,350 |
9877,545 |
85934,6415 |
75 |
11 |
18,700 |
205,7 |
3846,590 |
71931,233 |
1345114,057 |
85 |
9 |
28,700 |
258,3 |
7413,210 |
212759,127 |
6106186,945 |
95 |
4 |
38,700 |
154,8 |
5990,760 |
231842,412 |
8972301,344 |
Сумма |
100 |
- |
0 |
34931,000 |
98549,4 |
28443057,17 |
Выборочное среднее (Y) даёт средний диаметр сосны у корня
(см.)
Выборочная дисперсия:
Выборочное среднее квадратичное отклонение:
Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса вычисляют по формулам:
5. Сделать предварительный выбор закона распределения наблюдаемой случайной величины, исходя из механизма её образования, по виду гистограммы и полигона относительных частот и по значениям выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса.
Вид полигона
и гистограммы относительных частот
напоминает нормальную кривую. Выборочные
коэффициенты асимметрии
и эксцесса
для нормального распределения не более,
чем на утроенные средние квадратичные
ошибки их определения.
Где:
Итак, по совокупности указанных признаков можно предположить, что распределение СВ X является нормальным.
6. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, предполагая, что наблюдаемая случайная величина распределена по нормальному закону, и записать функцию плотности распределения вероятностей.
В
качестве неизвестных параметров α и
возьмем их точечные оценки X
и Syсоответственно.
Функция плотности:
Функция распределения вероятности:
