Ключи к тесту
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
а |
б |
а |
г |
а |
в |
б |
а |
г |
в |
а |
б |
б |
в |
а |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
г |
б |
б |
а |
г |
в |
в |
б |
а |
а |
б |
б |
в |
в |
б |
Типовой расчёт «Ряды»
Образец выполнения типового расчёта № 3.
Задание 1. Составить формулу общего
члена числового ряда:
.
Решение. Во-первых, данный ряд является
знакочередующимся, причём первый
множитель является отрицательным.
Поэтому формула общего члена ряда должна
содержать множитель
.
Во-вторых, все члены ряда представляют
собой дроби со знаменателем, равным
единице. В-третьих, знаменатели каждой
дроби являются квадратами последовательных
натуральных чётных чисел:
и так далее. Таким образом, получим
формулу:
.
Задание 2. Найти 8-й член числового ряда
.
Решение.
.
Задание 3. Найти частичную сумму
числового ряда
.
Решение:
.
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1.
.
Решение.
Проверим сначала для данного ряда
выполнения необходимого условия
сходимости:
.
Предел общего члена ряда не равен нулю,
следовательно, данный ряд является
расходящимся.
4.2.
.
Решение.
Данный ряд относится к типу обобщённых
гармонических рядов
,
причём
,
значит, ряд расходится.
4.3.
.
Решение.
Используем признак Даламбера. Найдём
.
Здесь
.
Получим:
.
Согласно признаку Даламбера, данный
ряд расходится.
4.4.
.
Решение.
Применим радикальный признак Коши.
Найдём
.
Получим:
.
Согласно признаку Коши, данный ряд
сходится.
4.5.
.
Решение.
Проверим сначала для данного ряда
выполнения необходимого условия
сходимости:
.
Числитель данной дроби стремится к
бесконечности, а знаменатель –
ограниченная величина, принимающая, в
зависимости от
значения различных знаков. Предел общего
члена ряда, таким образом, не определён
(и, естественно, не равен нулю),
следовательно, данный ряд является
расходящимся.
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1.
.
Решение.
Запишем последовательность абсолютных
величин членов данного ряда. Получим:
.
Члены ряда убывают по абсолютной
величине. Теперь найдём предел общего
члена ряда, составленного из абсолютных
величин. Получим:
- как предел обобщённого гармонического
ряда при
.
Таким образом, выполняются оба условия
признака Лейбница, и данный ряд является
сходящимся. Поскольку выше мы установили
сходимость ряда, составленного из
абсолютных величин, то данный ряд
сходится абсолютно.
5.2.
.
Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:
.
Он будет сходящимся, так как члены его
составляют геометрическую прогрессию,
знаменатель которой по модулю меньше
единицы. Следовательно, данный ряд
сходится, и сходится абсолютно.
Задание 6.
Найти радиус, интервал и область
сходимости ряда:
Решение.
Запишем коэффициент данного ряда:
.
Найдём радиус сходимости данного ряда:
.
Интервал сходимости данного ряда будет
.
Проверим поведение ряда в конечных
точках данного интервала.
Пусть
.
Получим ряд
.
Проверим его сходимость по признаку
Даламбера.
.
Ряд расходится, следовательно, точка
не принадлежит области сходимости.
Пусть
.
Получим ряд
.
Получили знакочередующийся ряд,
расходимость которого легко устанавливается
с помощью признака Лейбница (не выполняется
первое условие). То есть, точка
также не входит в область сходимости.
Итак, область сходимости данного ряда
-
.
Задание 7.
Используя формулу разложения в ряд
Маклорена функции
,
вычислить значение
с
точностью до 0,0001.
Решение. Формула разложения в ряд Маклорена функции имеент вид:
Преобразуем
.
Полагая
и
,
применим разложение в ряд Маклорена:
Вычисляем несколько последовательных первых членов ряда для того, чтобы определить сколько их нужно взять для достижения требуемой точности результата:
По свойству
знакочередующихся сходящихся рядов
при ограничении суммой трех первых
членов ряда ошибка искомого приближения
будет меньше четвертого члена ряда:
Поэтому,
При вычислении
с помощью калькулятора получаем:
Вариант № 1.
Задание 1. Составить формулу общего
члена числового ряда:
.
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда
.
Задание 3. Найти частичную сумму
числового ряда
.
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1.
.
4.2.
.
4.3.
.
4.4.
.
4.5.
.
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1.
.
5.2.
.
Задание 6. Найти радиус, интервал и
область сходимости ряда:
Задание 7. Используя формулу разложения
в ряд Маклорена функции
,
вычислить значение
с
точностью до 0,001.
Вариант № 2.
Задание 1. Составить формулу общего
члена числового ряда:
.
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда
.
Задание 3. Найти частичную сумму
числового ряда
.
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1.
.
4.2.
.
4.3.
.
4.4.
.
4.5.
.
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1.
.
5.2.
.
Задание 6.
Найти радиус, интервал и область
сходимости ряда:
Задание 7. Используя формулу разложения
в ряд Маклорена функции
,
вычислить значение
с
точностью до 0,001.
Вариант № 3.
Задание 1. Составить формулу общего
члена числового ряда:
.
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда
.
Задание 3. Найти частичную сумму
числового ряда
.
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1.
.
4.2.
.
4.3.
.
4.4.
.
4.5.
.
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1.
.
5.2.
.
Задание 6.
Найти радиус, интервал и область
сходимости ряда:
Задание 7. Используя формулу разложения
в ряд Маклорена функции
,вычислить
значение
с
точностью до 0,001.
Вариант № 4.
Задание 1. Составить формулу общего
члена числового ряда:
.
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда
.
Задание 3. Найти частичную сумму
числового ряда
.
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1.
.
4.2.
.
4.3.
.
4.4.
.
4.5.
.
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1.
.
5.2.
.
Задание 6.
Найти радиус, интервал и область
сходимости ряда:
Задание 7. Используя формулу разложения
в ряд Маклорена функции
,
вычислить значение
с
точностью до 0,0001.
Вариант № 5.
Задание 1. Составить формулу общего
члена числового ряда:
.
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда
.
Задание 3. Найти частичную сумму
числового ряда
.
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1.
.
4.2.
.
4.3.
.
4.4.
.
4.5.
.
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1.
.
5.2.
.
Задание 6.
Найти радиус, интервал и область
сходимости ряда:
Задание 7. Используя формулу разложения
в ряд Маклорена функции
,
вычислить значение
с
точностью до 0,001.
Вариант № 6.
Задание 1. Составить формулу общего
члена числового ряда:
.
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда
.
Задание 3. Найти частичную сумму
числового ряда
.
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1.
.
4.2.
.
4.3.
.
4.4.
.
4.5.
.
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1.
.
5.2.
.
Задание 6.
Найти радиус, интервал и область
сходимости ряда:
Задание 7. Используя формулу разложения
в ряд Маклорена функции
,
вычислить значение
с
точностью до 0,0001.
Вариант № 7.
Задание 1. Составить формулу общего
члена числового ряда:
.
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда
.
Задание 3. Найти частичную сумму
числового ряда
.
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1.
.
4.2.
.
4.3.
.
4.4.
.
4.5.
.
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1.
.
5.2.
.
Задание 6.
Найти радиус, интервал и область
сходимости ряда:
Задание 7. Используя формулу разложения
в ряд Маклорена функции
,
вычислить значение
с
точностью до 0,001.
Вариант № 8.
Задание 1. Составить формулу общего
члена числового ряда:
.
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда .
Задание 3. Найти частичную сумму
числового ряда
.
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1.
.
4.2.
.
4.3.
.
4.4.
.
4.5.
.
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1.
.
5.2.
.
Задание 6.
Найти радиус, интервал и область
сходимости ряда:
Задание 7. Используя формулу разложения
в ряд Маклорена функции
,
вычислить значение
с
точностью до 0,001.
Вариант № 9.
Задание 1. Составить формулу общего
члена числового ряда:
.
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда
.
Задание 3. Найти частичную сумму
числового ряда
.
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1.
.
4.2.
.
4.3.
.
4.4.
.
4.5.
.
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1.
.
5.2.
.
Задание 6.
Найти радиус, интервал и область
сходимости ряда:
Задание 7. Используя формулу разложения
в ряд Маклорена функции
,
вычислить значение
с
точностью до 0,001.
Вариант № 10.
Задание 1. Составить формулу общего
члена числового ряда:
.
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда
.
Задание 3. Найти частичную сумму
числового ряда
.
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1.
.
4.2.
.
4.3.
.
4.4.
.
4.5.
.
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1.
.
5.2.
.
Задание 6.
Найти радиус, интервал и область
сходимости ряда:
Задание 7. Задание 7. Используя формулу
разложения в ряд Маклорена функции
,
вычислить значение
с
точностью до 0,001.
Вариант № 11.
Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: .
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда .
Задание 3. Найти частичную сумму числового ряда .
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1. . 4.2. . 4.3. . 4.4. . 4.5. .
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1. . 5.2. .
Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда:
Задание 7. Используя формулу разложения
в ряд Маклорена функции
,
вычислить значение
с
точностью до 0,001.
Вариант № 12.
Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: .
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда .
Задание 3. Найти частичную сумму числового ряда .
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1. . 4.2. . 4.3. . 4.4. . 4.5. .
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1. . 5.2. .
Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда:
Задание 7. Используя формулу разложения
в ряд Маклорена функции
,
вычислить значение
с
точностью до 0,00001.
Вариант № 13.
Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: .
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда .
Задание 3. Найти частичную сумму числового ряда .
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1. . 4.2. . 4.3. . 4.4. . 4.5. .
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1. . 5.2. .
Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда:
Задание 7. Используя формулу разложения
в ряд Маклорена функции
,
вычислить значение
с
точностью до 0,001.
Вариант № 14.
Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: .
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда .
Задание 3. Найти частичную сумму числового ряда .
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1. . 4.2. . 4.3. . 4.4. . 4.5. .
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1. . 5.2. .
Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда:
Задание 7. Используя формулу разложения
в ряд Маклорена функции
,
вычислить значение
с
точностью до 0,0001.
Вариант № 15.
Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: .
Задание 2. Найти 5-й член числового ряда .
Задание 3. Найти частичную сумму числового ряда .
Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:
4.1. . 4.2. . 4.3. . 4.4. . 4.5. .
Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:
5.1. . 5.2. .
Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда:
Задание 7. Используя формулу разложения
в ряд Маклорена функции
, вычислить значение
с
точностью до 0,0001.