6. Прямое произведение двух множеств.

Прямым произведением АВ двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех пар, первый компонент которых принадлежит А, второй – В.

Например, если первый сомножитель прямого произведения имеет n элементов, а второй – m, т.е. А = {a₁, a₂, …a_n}, B = {b₁, b₂, …b_m}, то прямое произведение – это множество упорядоченных пар:

АВ = {(a₁, b₁), (a₁, b₂), …(a₁,b_m), (a₂, b₁), …(a_n, b_m)}.

Пусть А = {1, 3}, B = {1, 4, 5}. Тогда:

АВ = {(1, 1), (1, 4), (1, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}.

Если все множества А_i равны между собой, т.е. А₁ = А₂ = … = Аⁿ  А, то прямое произведение множеств обозначается как Аⁿ:

А₁  А₂  …  Аⁿ = А  А  … А = Аⁿ.

Пусть R – множество действительных чисел. Тогда R  R = R² – множество упорядоченных пар вида (x, y), где x, y  R. Геометрически R – множество точек числовой оси, R² – множество точек плоскости, где x и y – координаты этих точек.

Множество Р называется графиком, если каждый его элемент является упорядоченной парой. Любое подмножество множества R² можно назвать графиком.

Упражнения и задачи для самостоятельного анализа и решения

Упражнение 1.

а) Приведите примеры известных Вам названий множеств военнослужащих.

б) Приведите примеры известных Вам названий множеств живых существ (например, «стая»).

в) Приведите примеры известных Вам названий множеств людей (напри­мер, «бригада»).

Упражнение 2.

Приведите примеры элементов (не менее трёх), принадлежащих множествам:

а) целых чисел;

б) натуральных чисел;

в) целых неположительных чисел;

г) чётных чисел.

Упражнение 3.

Пусть A — множество учителей математики, а — Иван Сергеевич Семенов.

Что означает запись: а) а  A; б) а  A?

Упражнение 4.

Приведите по три примера конечных и бесконечных множеств.

Упражнение 5.

Задайте характеристическим свойством множество:

а) всех параллелограммов,

б) всех прямоугольников,

в) всех квадратов,

г) всех равнобедренных треугольников.

Упражнение 6.

В следующих множествах все элементы, кроме одного, обла­дают некоторым общим (характеристическим) свойством; опишите это свойство и найдите элементы, не обладающие им:

а) {треугольник, квадрат, трапеция, круг, правильный шести­угольник};

б) {лев, лисица, гиена, слон, рысь};

в) {бежать, смотреть, синий, знать, писать};

г) {2, 6, 15, 84, 156};

д) {Москва, Санкт-Петербург, Сочи, Гомель, Лондон};

е) {2, 7, 13, 16, 29};

ж) {1, 9, 67, 81, 121}.

Упражнение 7.

а) Каким свойством выделяется подмножество квадратов в мно­жестве всех ромбов?

б) Каким свойством выделяется множество млекопитающих в множестве всех живых существ?

Упражнение 8.

а) Является ли слово «волк» подмножеством в множестве слов русского языка?

б) Является ли множество {волк} подмножеством в множестве слов русского языка?

Упражнение 9.

Какое множество является и подмножеством, и элементом в множестве {1, 2, 3, 4, 5, {4, 5}}?

Задача 1.

Перечислите все подмножества множества букв {а, б, в, г, д}.

Задача 2.

Пусть А – множество делителей числа 15, В – множество простых чисел, меньших 10, С – множество чётных чисел, меньших 9. Перечислить элементы этих множеств и найти

А В, А С, В С, (А С) В, А В С.

Задача 3.

Множества А и В являются подмножествами множества Е (рис. 12).

Рис. 12. К задаче 3

Указать штриховкой множества:

А В,  (А В), А В, А В,

А В, (А В), (А В), (А В) (А В).

Задача 4.

В группе из 100 туристов 70 человек знают английский язык, 45 знают французский язык и 23 человека знают оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского, ни французского языка?

Задача 5.

В олимпиаде по математике принимало участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. Результаты проверки решений представлены в таблице.

Решены задачи	Количество решивших
По алгебре По геометрии По тригонометрии По алгебре и геометрии По алгебре и тригонометрии По геометрии и тригонометрии	20 18 18 7 8 9

Известно также, что ни одной задачи не решили трое. Сколько учащихся решили все три задачи? Сколько учащихся решили ровно две задачи?

25