I способ

1) Одинаковое число белых и чёрных при четырёх извлечённых – это 2 белых и 2 чёрных.

2) Рассмотрим возможные исходы:

w₁ – Б и Б и Ч и Ч

или

w₂ – Б и Ч и Б и Ч,

или

w₃ – Б и Ч и Ч и Б,

или

w₄ – Ч и Б и Б и Ч,

или

w₅ – Ч и Б и Ч и Б,

или

w₆ – Ч и Ч и Б и Б.

3) Вероятности, соответствующие этим исходам:

Р(w₁) , где логическому «и» соответствует произведение,

– вероятность вытащить белый шар из урны, когда в ней 5 белых и 3 чёрных шара,

– вероятность вытащить белый шар из урны, когда один белый вынут и в ней остаётся 4 белых и 3 чёрных шара, и т.д. (см. раздел «Случайные события и их вероятности», задачи 13, 14),

Р(w₂) ,

Р(w₃) ,

Р(w₄) ,

Р(w₅) ,

Р(w₆) .

4) Искомая вероятность:

,

т.к логическому «или» (см. второй шаг настоящего решения) соответствует сумма, а события w₁–w₆ – несовместны (см. теорему сложения вероятностей).

II способ

1) Одинаковое число белых и чёрных при четырёх извлечённых – это 2 белых и 2 чёрных.

2) Число возможных исходов n – вынули 4 шара из 8 – это число сочетаний (т.к. порядок не имеет значения) из 8 по 4: n = C₈⁴ .

3) Благоприятные исходы – вынули 2 белых шара (число сочетаний m₁ из 5 по 2) и два чёрных шара (число сочетаний m₂ из 3 по 2): m = m₁  m₂ = С₅²  С₃², т.к. логическому «и» соответствует произведение.

С₅² = 10, С₃² = 3.

4) Искомая вероятность: .

б)

I способ

1) Число белых превысит число чёрных – это 3 белых и 1 чёрный или 4 белых и ни одного чёрного.

2) Рассуждая аналогично пункту а) настоящего решения, рассмотрим возможные исходы и их вероятности:

w₁ – Б и Б и Б и Ч, , или w₂ – Б и Б и Б и Б, , или w₃ – Ч и Б и Б и Б, , или w₄ – Б и Ч и Б и Б, , или w₅ – Б и Б и Ч и Б, .

3) Искомая вероятность:

.

II способ

1) Число белых превысит число чёрных – это 3 белых и 1 чёрный или 4 белых и ни одного чёрного.

2) Обозначим: событие А – вынули 3 белых и 1 чёрный шар, событие В – вынули 4 белых шара, событие С = А + В – вынули 3 белых и 1 чёрный шар или 4 белых шара, где сумма соответствует логическому «или».

3) Искомая вероятность Р(С) = Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Т.к. события А и В несовместны, то Р(АВ) = 0 и Р(С) = Р(А) + Р(В).

4) Вычисляем Р(А).

Число возможных исходов n_А – вынули 4 шара из 8 – это число сочетаний (т.к. порядок не имеет значения) из 8 по 4: n_А = C₈⁴ .

Благоприятные исходы – вынули 3 белых шара (число сочетаний m₁ из 5 по 3) и один чёрный шар (число сочетаний m₂ из 3 по 1): m_А = m₁  m₂ = С₅³  С₃¹, т.к. логическому «и» соответствует произведение.

С₅³ = 10, С₃¹ = 3.

Вероятность: .

5) Вычисляем Р(В).

Число возможных исходов n_В, как и в случае Р(А), – это число сочетаний из 8 по 4:

n_В = C₈⁴ .

Число благоприятных исходов m_В – вынули 4 белых шара – это число сочетаний из 5 по 4:

m_В = C₅⁴ .

Вероятность: .

6) .

Задача 10.

Решение.

а)

Благоприятные исходы – число сочетаний из 24 по 1, т.е. 24.

Возможные исходы – число сочетаний из 30 по 1 , т.е. 30.

Искомая вероятность: Р = 24/30 = 4/5 = 0,8 = 80 (%).

б)

1) Рассмотрим события, соответствующие успешному ответу и образующие полную группу событий:

А – первый вытянутый билет знает и второй вытянутый билет знает,

В – первый вытянутый билет знает и второй вытянутый билет не знает,

С – первый вытянутый билет не знает и второй вытянутый билет знает.

Нас интересует событие D = А + В + С (т.е. А или В или С).

2) Рассмотрим событие, противоположное событию D, т.е. событие D – первый вытянутый билет не знает (D₁) и второй вытянутый билет не знает (D₂).

P(D) = 1 – P(D).

3) P(D) = P(D₁D₂), т.к. логическому «и» соответствует произведение.

, где – вероятность вытащить билет, который студент не знает, если предыдущий вытащенный им билет также из числа тех, которые он не знает.

4) .

Задача 11.

Решение.

а)

1) Общее число исходов n – число сочетаний из 10 по 5 – .

2) При благоприятных исходах имеем 1 выигрышный и 4 не выигрышных билета.

1 выигрышный билет – это число сочетаний из 2 по 1, т.е. 2.

4 не выигрышных – это число сочетаний из 8 (10 – 2) по 4:

.

Благоприятных исходов: .

3) Искомая вероятность: .

б)

1) Общее число исходов n – число сочетаний из 10 по 5 – .

2) При благоприятных исходах имеем 2 выигрышный и 3 не выигрышных билета.

2 выигрышных билета из 2-х можно вытащить только одним способом.

3 не выигрышных – это число сочетаний из 8 (10 – 2) по 3:

.

Благоприятных исходов: .

3) Искомая вероятность: .

Задача 12.

Решение.

1) Общее число исходов n – это число сочетаний из 36 по 3, т.е. n = C₃₆³.

2) Благоприятные исходы – это 1 валет и 2 карты не валеты.

1 валет можно выбрать из 4 (всего в колоде 4 валета) четырьмя способами.

2 карты не валеты можно выбрать из 32 (36 – 4) числом способов, равным числу сочетаний из 32 по 2, т.е. С₃₂².

Всего благоприятных исходов: m = 4С₃₂².

3) Искомая вероятность: .

Задача 13.

Решение.

1) Обозначим: событие А – выпал орёл,

событие В – выпало чётное число очков,

событие С = А  В – выпал орёл и чётное число очков.

2) Р(С) = Р(АВ)

Т.к. события А и В независимы, то Р(АВ) = Р(А)  Р(В).

Тогда: Р(С) = Р(А)  Р(В).

3) Р(А) = 1/2

Р(В) = 3/6 = 1/2

Р(С) = 1/2  1/2 = 1/4.

Задача 14.

Решение.