6. Алгебра событий

закономерность случайный теория вероятность

Аксиоматическое определение вероятности.

Более верным математически определением вероятности, чем классическое, является аксиоматическое определение. Здесь события рассматриваются как элементы некоего конечного или бесконечного множества Ω. Для простоты возьмем конечное множество Ω=(w1,w2,…,wn), где wi это элементы множества Ω. Это множество Ω называют пространством элементарных событий, а его элементы wi - элементарными событиями.

Рассматривают такое подмножество F(Ω), которое обладает свойством ΩЄF. Событие Ө - пустое множество обозначим как невозможное событие ӨЄF(Ω). Тогда несовместимые события А и В будут определяться как

А ∩ В = Ө

(∩ - знак объединения множеств, U - пресечение множеств)

Тогда если ӨЄF, для любых событий АЄF и ВЄF верно следующее соотношение А∩ВЄF, АUВЄF

Такое множество F - называют алгебра событий.

Вероятностью события А называют такую числовую функцию Р(А), определенную на алгебре событий F, для которой справедливы следующие аксиомы:

. Для любого АЄF верно Р(А)≥0 - аксиома неотрицательности.

. Р(Ω)=1 - аксиома нормированности.

. Если АЄF и ВЄF несовместимы (то есть А∩В=Ө), то Р(АUВ)=Р(А)+Р(В) - аксиома аддитивности.

7. Формула Бейеса

Пусть мы знаем вероятности событий А и В: Р(А) и Р(В). И пусть мы знаем условную вероятность события А по В: Р(A|B). Как найти условную вероятность P(B|A)? На этот вопрос отвечает формула Бейеса. Р(B|A)=P(A|B)·P(B)/P(A) (1) Разумеется этой формулой можно пользоваться только при условии, что Р(А)0. Формула Бейеса выводится из следующих равенств: Р(ВА)=Р(В|A)·P(A) (2) Р(AB)=Р(A|B)·P(B) (3) Р(ВА)=Р(AB) (4) так как пересечение событий В и А очевидно не зависит от порядка, в котором записаны А и В, т.е. ВА=AB. В случае Р(А)=0 принимаю обычно, что Р(В|A) есть величина неопределенная. 8.Формула полной вероятности.

Пусть имеем полную группу из n попарно непересекающихся событий То есть

, , (6)

Пусть мы знаем условные вероятности некоторого события А по Еi: Р(А|Ei) и вероятности Р(Ei), i=1,...,n. Справедлива следующая формула полной вероятности для события А Р(А)=Р(A|E1)·P(E1)+...+P(A|En)·P(En) (7) Доказательство этой формулы вытекает из следующих равенств P(A)=P()=P(A(Ei))=P(AE1)+...+P(AEn)=Р(A|E1)·P(E1)+...+P(A|En)·P(En) (8) Из элементарной формулы Бейеса (1) и формулы полной вероятности (7) вытекает следующая более полная формула Бейеса

Р(Еi|A)=P(A|Ei)·P(Ei)/(Р(A|E1)·P(E1)+...+P(A|En)·P(En)) (9)

8. Полная группа событий

Несовместимые события - события, наступление которых одновременно при одном и том же опыте (испытании) невозможно. Например, выпадение двух граней кубика при одном броске невозможное событие.

Полная группа событий - совокупность однородных несовместимых событий, наступление одного из которых обязательно. Для примера с игральным кубиком полная группа событий будет выпадение каждой из шести граней.

И по классическому и по аксиоматическому определению вероятности очевидно, что вероятность наступления любого случайного события А будет равна 0<Р(А)<1. Краевые значения 0 и 1 будут определять неслучайные события - их делят на:

невозможные - ( Р(А)=0 или Р(Ө)=0) - наступление которых при данных условиях невозможно

достоверные - (Р(А)=1) - наступление которых при данных условиях обязательно.

Для несовместимых событий легко определить вероятность объединения (суммы) событий. Если Аi при i Є (1, n) несовместимые события, то вероятность суммы событий Аi равна сумме их частных вероятностей.

Р(А1+А2+,…,+Аn) = Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)