Противоположная и обратная противоположной теоремы

Закон контрапозиции. Для теоремы, сформулированной в виде импликации , кроме обратного утверждения можно сформулировать противоположное утверждение. Им называется утверждение вида . Утверждение, противоположное данной теореме, может быть также теоремой, т. е. быть истинным высказыванием, но может таковым и не быть. Это следует из того, что формулы и .Уне являются равносильными, в чем нетрудно убедиться, составив таблицы истинности данных формул (составьте их). В этом можно убедиться и на примерах.

Возьмем теорему из предыдущего пункта: "Если в четырехугольнике все стороны равны, то его диагонали перпендикулярны". Составляем противоположное утверждение "Если в четырехугольнике все стороны не равны, то его диагонали не перпендикулярны". Последнее утверждение неверно, т. е. теоремой не является. Рассмотрим еще одну теорему: "Если сумма цифр натурального числа делится на три, то и само число делится на три". Противоположное утверждение для этой теоремы также справедливо, т. е. является теоремой, противоположной данной: "Если сумма цифр натурального числа не делится на три, то и само число не делится на три". Итак, в том случае, когда утверждение истинно, утверждение может быть как истинным, так и ложным. Это означает, что утверждение, противоположное доказанной теореме, в свою очередь нуждается в доказательстве или опровержении.

Методы доказательства математических теорем

Метод доказательства от противного, несомненно, один из самых распространенных в математике методов доказательства теорем. Суть его состоит в следующем. Для того чтобы доказать утверждение (теорему) , т. е. "Если , то ", предполагается, что верно утверждение . Отсюда нужно логическими рассуждениями прийти к утверждению . Вместо этого делается предположение, противное (т.е. противоположное) тому, которое требуется доказать, т.е. предполагается . Далее, рассуждая на основании этого предположения, мы приходим к нелепому выводу . "Нелепость" (абсурдность) вывода состоит в том, что он противоречит исходному данному утверждению . Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное предположение и принять то, которое требовалось доказать, — .

Что же происходит в этих рассуждениях с точки зрения (математической) логики? А происходит то, что доказательство данной теоремы фактически заменяется (подменяется) доказательством теоремы , противоположной обратной (или обратной противоположной) для данной теоремы. Почему это возможно сделать? А потому, что в этом состоит логический закон контрапо-зиции , устанавливающий равносильность этих утверждений. Таким образом, описанный метод доказательства от противного основывается на логическом законе контрапозиции.

Метод доказательства от противного применяется также и в других формах. Например, вместо импликации доказывают равносильную ей импликацию , т.е. предполагая, что истинны утверждения и , выводят истинность утверждения в противоречие с предположением. На основании равносильности делается вывод об истинности импликации . Вторая равносильность дает возможность заменить доказательство импликации доказательством импликации , т.е. предположив, что истинны утверждения и , вывести отсюда истинность утверждения в противоречие с предположением. Наконец еще одна форма этого метода, являющаяся также одной из форм метода приведения к абсурду, основана на равносильности

Предполагая, что истинны утверждения и , выводим из них некоторое утверждение и его отрицание.

Метод приведения противоположного утверждения к абсурду состоит в следующем. Пусть требуется доказать утверждение . Рассматривается (допускается) противоположное ему утверждение (т.е. утверждение, являющееся его отрицанием) из него выводятся два противоречащих друг другу утверждения (т.е. некоторое утверждение и его отрицание) и и Из этого делается вывод о том, что справедливо исходное утверждение X. Оправданием этому методу может служить следующая тавтология:

Метод приведения утверждения к абсурду состоит в следующем. Пусть требуется опровергнуть утверждение , т.е. доказать отрицательное утверждение . В этом случае два противоречащих друг другу утверждения и выводятся не из утверждения , а из самого данного утверждения и . Из этого делается вывод о том, что справедливо утверждение , т.е. данное утверждение опровергнуто. Оправданием этому методу служит следующая формула, также являющаяся тавтологией: