2. Свойства преобразования Лапласа

1 Свойство линейности. Для любых комплексных постоянных α и β

α + β α + β .

2 Теорема подобия. Для любой постоянной α>0

.

3 Теорема о дифференцировании изображения.

.

4 Частные случаи теоремы 4.

,

,

. . . . . . . . . . ,

.

5 Дифференцирование оригинала. Если функция непрерывна при t>0 и ее производные являются оригиналами, то

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Интегрирование оригинала.

7 Интегрирование изображения. Если интеграл сходится, то он служит изображением функции :

.

8 Теорема запоздывания. Для любого положительного τ

9 Теорема смещения. Для любого комплексного α

10 Теорема умножения

3. Таблица изображений

№	Оригинал	Изображения
1	1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

4. Примеры нахождения изображений функций – оригиналов.

1.Для нахождения изображения функции используем функции 2, 4, 6 из таблицы изображений:

2. Для нахождения изображения используем формулу понижения степени:

3. Для нахождения изображения используем формулу Эйлера:

4.

.

Применим свойство дифференцирования изображения:

Снова применим свойство дифференцирования изображения:

5. Найти изображение .

Применим свойство об интегрировании изображения:

6. , найти .Применим свойство об интегрировании изображения:

7. Найти .

5. Нахождение оригинала по изображению

Оригинал восстанавливается по изображению с помощью таблицы и свойств преобразования Лапласа.

Найти оригиналы следующих изображений:

1. 

2. 

3. 

4. Заметим, что дискриминант знаменателя дроби отрицательный. Поэтому для нахождения оригинала выделяем полный квадрат знаменателя дроби

5. Заметим, что знаменатель дроби разлагается на множители. Для нахождения оригиналов дробей такого вида необходимо:

- разложить знаменатель дроби на множители;

- представить дробь в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами;

- найти неопределенные коэффициенты;

- найти по таблице оригиналы простейших дробей.

Используя это правило, найдем оригинал функции

6. 

6.Решение дифференциальных уравнений операционным методом.

Нахождение изображения дифференциального уравнения.

Чтобы найти изображение линейного дифференциального уравнения нужно найти с помощью формулы (1) изображения всех производных, входящих в уравнение и изображение правой части уравнения с помощью таблицы.

Пример. Найти изображения уравнения

Решение. Находим изображения производных с помощью свойства дифференцирования оригинала:

Находим изображение правой части уравнения по таблице изображений:

Подставляем найденные изображения в уравнение:

Замечание. Изображение дифференциального уравнения называется операторным уравнением.

Чтобы решить дифференциальное уравнение операторным методом необходимо:

1. Найти изображение уравнения;

2. из полученного операторного уравнения найти изображение решения данного уравнения;

3. по найденному изображению найти оригинал.

Пример 1 Решить уравнение:

.

Решение. Находим изображение данного уравнения:

Из полученного уравнения выражаем

Находим оригинал функции

=

Таким образом, решением дифференциального уравнения является функция

Чтобы убедиться в правильности решения проверим, что найденная функция удовлетворяет и уравнению и начальным условиям:

Подставляя найденные производные и саму функцию в уравнение, получим:

Таким образом, найденная функция удовлетворяет уравнению. Проверим, что она удовлетворяет начальным условиям:

Задача решена правильно.

Пример 2 Найти частное решение дифференциального уравнения

Начальные условия

Ищем изображения данного уравнения

Подставляем

Последнюю дробь следует разложить на простейшие дроби:

Составим систему для нахождения и :

Следовательно,

Окончательно имеем:

По таблице находим оригиналы.

- частное решение дифференциального уравнения.

Пример 3. Найти решение дифференциального уравнения

Находим изображения левой и правой части дифференциального уравнения:

Получим операторное уравнение

Откуда

Разлагаем дробь на простейшие дроби:

Приравниваем числители:

Подставим корни :

Откуда

Для нахождения приравниваем коэффициенты при :

Итак, имеем разложение:

По таблице находим оригиналы:

- ответ.

Пример 4. Найти частное решение дифференциального уравнения: начальные условия

Находим изображения:

Подставляем:

Разлагаем сложную дробь на простейшие.

Приравниваются числители:

Раскрыв скобки, получаем систему:

Откуда

Имеем изображение:

В многочлене следует выделить полный квадрат:

Итак, имеем изображение:

В числителе третьей дроби следует иметь , поэтому отнимаем 1 и прибавляем 1:

Пример 5. Найти частное решение дифференциального уравнения

Разложение на простые дроби: