4. Знаходження похідних вищих порядків. Аналіз отриманих результатів

Використовуючи формули (3.8), (3.9) для знаходження похідних III та IV порядків і загальну формулу (3.10) для вираження і- тої похідної, обчислимо наближені значення третьої ,четвертої і п’ятої похідних деяких аналітичних функцій і порівняємо їх з точними значеннями.

Обчислення проводимо при , точність обчислень 10000 знаків після коми, з виводом на екран 30-ти знаків. Див. табл. 3.8, 3.9, 3.10.

Таблиця 3.8 Порівняння наближених значень похідних третього порядку

Функція	Наближене значення третьої похідної	Точне значення третьої похідної
		0
		0
		0
		-1000
		10000
		-10
		0
		1000
		1000000
		0
		-1000
		0

Таблиця 3.9 Порівняння наближених значень похідних четвертого порядку

Функція	Наближене значення четвертої похідної	Точне значення четвертої похідної
		10000
		100000000
		800000000
		0
		100000
		0
		-800000000
		10000
		100000000
		80000
		100000000
		-80000

Таблиця 3.10 Порівняння наближених значень похідних п’ятого порядку

Функція	Наближене значення п’ятої похідної	Точне значення п’ятої похідної
		0
		0
		0
		100000
		1000000
		10
		0
		100000
		10000000000
		0
		100000
		0

Знайдемо абсолютну та відносну похибки обчислень деяких аналітичних функцій з точністю обчислень 10000 знаків після коми, з виводом на екран 15-ти знаків при та проведемо їх аналіз. (Табл.3.11)

Таблиця 3.11. Аналіз похибок обчислень значень аналітичних функцій.

Наближене значення	Точне значення	Абсолютна похибка	Відносна похибка
Похідна третього порядку
	0
	-10
	0
	0
	0
	0
	10000
	1000
Похідна четвертого порядку
	-80000
	0
	0
	10
	10000
	80000
	10000
Похідна п’ятого порядку
	0
	10
	0
	0
	0
	0

Як і у випадку наближень першої та другої похідної, оцінка точності похідних вищого порядку прямує до нуля. Зазначимо, що чим більше значення n, тим точніші результати отримуємо при обчисленні похідних. Проте, чим вищий порядок диференціювання складних аналітичних функцій, тим менша точність обчислень.

Аналіз обчислень наближених похідних I – IV порядків за формулами центральних різниць для та порядку і міститься в додатку Г.

Проведені чисельні експерименти для різних класів аналітичних функцій , які підтверджують ефективність розглянутого методу.

Програмна реалізація обчислень наближених значень похідних від аналітичних функцій вищих порядків,а також оцінка похибок реалізована в програмному пакеті Maple, частково наведена в додатку Д.