6. Достаточные условия дифференцируемости функции многих переменных в точке.

Если функция имеет непрерывные частные производные в некоторой точке, то она дифференцируема в этой точке.

7. Дифференцирование сложных функций. Теорема о производной сложной функции.

Правило дифференцирования сложной функции позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке x₀, а функция g имеет производную в точке y₀=f(x₀), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке x₀.

Теор.

Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).

8. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Определение и вычисление производной скалярного поля по направлению. Градиент скалярного поля, определение и свойства.

Скалярное поле: z=f(x,y) – числовая или скалярная функция. U=f(x,y,z) - числовая или скалярная функция в трехмерном пространстве. Скалярное поле может меняться.

Линией уровня скалярного поля функции двух переменных называется линия, в каждой точке которой функция принимает одно и то же постоянное значение.

Для функции трех и более переменных поверхность, на которой функция принимает одно и то же постоянное значение, называется поверхностью уровня.

Производной скалярного поля, задаваемого этой функцией в точке М₀ в направлении единичного вектора ), называется число

Градиент: вектор.

Свойства градиента:

1) Градиент в точке М₀ определяет направление наибольшего роста функции

2) Величина наибольшей скорости изменения функции в данной точке

Направление, противоположное называется антиградиентом.

9. Частные производные высших порядков. Формулировка теоремы о смешанной производной.

Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют)  , которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Обозначается через   или f’’_xx и т.д.

Теор.

Если функция f(x, y) имеет непрерывные производные до n-го порядка включительно в точке М₀ , то в этой точке частные производные   .

10. Дифференциалы высших порядков ФМП.

Дифференциалом порядка n, где n > 1 от функции z  в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

  .

Если функция z=f(x, y)  имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так:

11. Функции, заданные неявно уравнением F . Формулировка существования, непрерывности и дифференцируемости.

1. Существует точка , в которой F

2. В некоторой окрестности F непрерывно и дифференцируема, причем удовлетворяющая F F , которая непрерывна и дифференцируема в этой окрестности.

12. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной неявно.

Кас.: F'_x (x₀, y₀, z₀) · (x − x₀)   +   F'_y (x₀, y₀, z₀) · (y − y₀)   +   F'_z (x₀, y₀, z₀) · (z − z₀) = 0.

Нормаль: = = .

13. Локальный экстремум ФМП. Необходимые условия экстремума.

Необходимые условия экстремума функции двух переменных

1) Найдем две частные производные первого порядка

2) Подставим в них точку М(x,y)

3) Если обе частные производные обращаются в ноль, значит точка М(x,y) является точкой

экстремума; если обе частные производные не обращаются в ноль, значит точка М(x,y) не

является точкой экстремума

14. Достаточные условия экстремума ФМП с использованием второго критерия Сильвестра.

Достаточные условия экстремума функции двух переменных

1) Найдем 3 частные производные второго порядка

2) Подставим в них точку М(x,y). У нас получится 3 числа: А, В, С

3) Найдем =АС-В²

а) если > 0, то точка М(x,y) является точкой экстремума, причем если А < 0, то точка М(x,y) –

точка максимума, если А > 0, то точка М(x,y) – точка минимума

б) если < 0, то точка М(x,y) не является точкой экстремума

в) если = 0, то нужны дополнительные исследования