Дифференциальное исчисление

1. Производная функции.

Производная функции. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Физический смысл производной. Определение дифференцируемой в точке функции.

2. Вычисление производных (дифференцирование).

Правило дифференцирования функции. Формулы дифференцирования. Таблица производных. Производная сложной функции.

3. Некоторые приёмы вычисления производных.

Логарифмическая производная. Производная степенно-показательного выражения. Производной обратной функции. Производная функции, заданной в неявном виде.

4. Дифференциал функции.

Дифференциал функции. Формула дифференциала. Геометрический смысл дифференциала функции. Свойства дифференциала функции.

5. Монотонность и экстремумы функции.

Необходимое и достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке. Критические точки функции. Точки экстремума и экстремумы функции. Необходимое условие экстремума (теорема Ферма). Достаточное условие экстремума. Достаточный признак экстремума по второй производной.

6. Выпуклость (вогнутость) графика функции.

Выпуклость (вогнутость) графика функции. Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условие точки перегиба.

7. Асимптоты графика функции.

Определение асимптоты графика функции. Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты. Необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты.

8. Функция многих переменных.

Определение функции многих переменных. Частные производные 1-го и 2-го порядков функции двух переменных. Смешанные частные производные 2-го порядка, теорема об их равенстве. Правило вычисления частных производных. Полный и частные дифференциалы функции двух переменных.

9. Формулы малых приращений.

Формулы малых приращений (для функций одной и многих переменных). Использование формул малых приращений в приближенных вычислениях.

Интегральное исчисление

1. Неопределённый интеграл.

Первообразная функции. Теорема об общем виде всех первообразных данной функции. Неопределенный интеграл, его геометрический смысл. Основные свойства неопределённого интеграла.

2. Методы непосредственного интегрирования и замены переменной.

Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной.

3. Интегрирование по частям.

Вывод формулы интегрирования по частям. Метод интегрирования по частям.

4. Интегрирование рациональных функций.

Интегрируемость простейших дробей в элементарных функциях. Разложение рациональной дроби на сумму простейших. Метод неопределённых коэффициентов.

5. Интегрирование иррациональных функций.

Интегрирование дробно-линейных иррациональностей. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Подстановки Эйлера.

6. Интегрирование тригонометрических функций.

Основные рационализирующие подстановки для тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка.

7. Определённый интеграл.

Интегральная сумма Римана. Предел интегральной суммы. Определённый интеграл. Определение интегрируемой по Риману функции. Криволинейная трапеция. Геометрический смысл определённого интеграла.

8. Свойства определённого интеграла.

Определённый интеграл в точке. Перестановочность пределов интегрирования. Линейность. Аддитивность. Среднее значение функции на промежутке.

9. Формула Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона-Лейбница (с выводом). Непосредственное интегрирование.

10. Методы вычисления определённых интегралов.

Замена переменной в определённом интеграле. Метод интегрирования по частям определённого интеграла.

11. Вычисление определённых интегралов численными методами.

Численное интегрирование. Формулы прямоугольников. Формула трапеций. Формула Симпсона (формула парабол).

12. Приложение определённых интегралов.

Площадь криволинейной трапеции. Объём тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс. Длина дуги гладкой кривой. Использование определённого интеграла в экономике.

13. Несобственные интегралы и их сходимость.

Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Формулы Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов. Сходимость несобственных интегралов.

14. Двойные интегралы.

Интегральная сумма Римана для функции двух переменных. Предел интегральной суммы. Двойной интеграл, его геометрический смысл и свойства.

15. Вычисление двойных интегралов.

Сведение двойного интеграла к повторному для случаев прямоугольной и правильных в направлениях оси абсцисс и оси ординат областей интегрирования.