Экзаменационная работа для проведения государственного выпускного экзамена по математике (первый курс)

Вариант 3.

1. Вычислите: a) , б) , в) , г) .

2. Решите уравнение: a) , б) ,

в) cos 2x + sin² x = cos x, г) .

3. Вычислите площадь фигуры, изображенной на рисунке.

а) б)

4. Пря­мая y = 7x 5 па­рал­лель­на ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции

y = x² + 6x 5. Най­ди­те абс­цис­су точки ка­са­ния.

5. В ходе рас­па­да ра­дио­ак­тив­но­го изо­то­па, его масса умень­ша­ет­ся по за­ко­ну m(t) = m₀ где m₀ - на­чаль­ная масса изо­то­па, t (мин) - про­шед­шее от на­чаль­но­го мо­мен­та время, T- пе­ри­од по­лу­рас­па­да в ми­ну­тах. В ла­бо­ра­то­рии по­лу­чи­ли ве­ще­ство, со­дер­жа­щее в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни m₀ = 188 мг изо­то­па Z, пе­ри­од по­лу­рас­па­да ко­то­ро­го T = 3 мин. В те­че­ние сколь­ких минут масса изо­то­па будет не мень­ше 47 мг?

6. Най­ди­те точку мини­му­ма функ­ции: a) y = , б) y = 2x³ 9x² 24x.

7. Решите неравенство: a) , б) ,

б) , в) .

8. а) На рисунке изображен график функции y = f(x) и ее касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции f(x) в точке (рис.а).

б) На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x),опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле . Най­ди­те: про­ме­жут­ки возрастания и убы­ва­ния функ­ции f(x), ука­жи­те их длины; количество точек экстремума; точки, в которых f ^‘(x)=0; точки «max»; точки «min» (рис.б).

а) б)

Экзаменационная работа для проведения государственного выпускного экзамена по математике (первый курс)

Вариант 4.

1. Вычислите: a) , б) , в) , г) .

2. Решите уравнение: a) , б) ,

в) sin 2x = 2 sin x cos x + 1, г) .

3. Вычислите площадь фигуры, изображенной на рисунке.

а) б)

4. Пря­мая y = 4x + 8 па­рал­лель­на ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции

y = x² 5x + 7 . Най­ди­те абс­цис­су точки ка­са­ния.

5. В ходе рас­па­да ра­дио­ак­тив­но­го изо­то­па, его масса умень­ша­ет­ся по за­ко­ну m(t) = m₀ где m₀ - на­чаль­ная масса изо­то­па, t (мин) - про­шед­шее от на­чаль­но­го мо­мен­та время, T- пе­ри­од по­лу­рас­па­да в ми­ну­тах. В ла­бо­ра­то­рии по­лу­чи­ли ве­ще­ство, со­дер­жа­щее в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни m₀ = 344 мг изо­то­па Z, пе­ри­од по­лу­рас­па­да ко­то­ро­го T = 4 мин. В те­че­ние сколь­ких минут масса изо­то­па будет не мень­ше 43 мг?

6. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции: a) y = , б) y = 3x³ + 4x² x.

7. Решите неравенство: a) , б) ,

в) , г) .

8. а) На рисунке изображен график функции y = f(x) и ее касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции f(x) в точке (рис.а).

б) На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x),опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле . Най­ди­те: про­ме­жут­ки возрастания и убы­ва­ния функ­ции f(x), ука­жи­те их длины; количество точек экстремума; точки, в которых f ^‘(x)=0; точки «max»; точки «min» (рис.б).

а) б)