Глава 3. Линейная зависимость векторов
Любое
множество, элементами которого являются
векторы, называется системой
векторов.
Выражение вида
,
где λ
i
– вещественное число, называется
линейной
комбинацией
векторов системы
.
Числа λ
i
называются коэффициентами
линейной комбинации. Различают два типа
линейных комбинаций: тривиальные,
когда
и
нетривиальные
.
Если
,
то говорят, что вектор
представлен
(разложен) в виде линейной комбинации
векторов системы
.
Разумеется, нулевой вектор может быть
представлен в виде тривиальной линейной
комбинации любой системы векторов.
Тривиальная линейная комбинация любой
системы векторов равна нулю.
Определение:
Система векторов
называется
линейно
зависимой,
если хотя бы одна нетривиальная линейная
комбинация векторов системы обращается
в нуль, т.е. имеет место равенство
,
при
.
Система векторов не являющаяся линейно зависимой называется линейно независимой.
Определение:
Система векторов
называется
линейно
независимой,
если равенство нулю линейной комбинации
векторов системы возможно лишь в случае
ее тривиальности, т.е. из того, что
следует
.
Теорема: Если хотя бы один из векторов системы является нулевым, то эта система является линейно зависимой.
Действительно,
из векторов системы
можно
составить линейную комбинацию
,
которая не является тривиальной.
Теорема: Если часть системы векторов линейно зависима то и вся система векторов линейно зависима.
Действительно,
если система векторов
линейно
зависима, то существует нетривиальная
линейная комбинация
.
Для любой системы векторов
линейная
комбинация
также
является нетривиальной.
Теорема: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.
Действительно,
либо оба коллинеарных вектора равны
нулю, и тогда равна нулю любая их линейная
комбинация (в том числе и нетривиальная),
либо один из них не нуль, и тогда, в силу
теоремы из второго раздела, другой
отличается от него на числовой множитель.
Запишем это:
.
Но эта же запись означает, что
,
и мы имеем нетривиальную линейную
комбинацию, равную нулю.
Наоборот,
допустим, что два неколлинеарных вектора
и
линейно
зависимы. Тогда существуют коэффициенты
λ
и
μ
такие,
что
,
причем, например, λ
≠ 0. Это
означает, что
,
и векторы коллинеарны, вопреки нашему
предположению.
Следствие: Если два вектора неколлинеарны, то они линейно независимы.
Теорема:
Любой вектор
лежащий
в одной плоскости с неколлинеарными
векторами
и
,
может быть представлен в виде линейной
комбинации этих векторов (т.е. найдутся
такие вещественные числа λ
и
μ,
что
).
Такое представление единственно.
Заметим, прежде всего, что оба вектора и отличны от нуля, так как если бы хоть один из них был нулевым, то они были бы коллинеарны. Если вектор коллинеарен одному из данных векторов, то утверждение сводится к теореме из второго раздела.
В
общем случае перенесем все три вектора
в одну точку О
(рис. 6). Через конец C
вектора
проведем
прямые CР
и CQ,
параллельные векторам
и
.
Тогда
,
причем векторы
и
коллинеарны
соответственно
и
.
В силу теоремы из второго раздела
существуют и определены однозначно
такие числа λ
и
μ,
что
,
.
Таким образом,
,
что и требовалось.
Допустим
теперь, что существует другая линейная
комбинация
,
равная
,
причем, например λ
≠ σ. Тогда
,
так как иначе мы имели бы две прямые,
проходящие через точку C
параллельно вектору
.
Из последнего равенства вытекает, что
σ
= λ, в
противоречие с нашим предположением.
Следствие: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.
В
самом деле, пусть векторы
,
,
линейно
зависимы, тогда один из них есть линейная
комбинация двух других. Пусть, например
.
Приложим векторы
,
,
к
одной и той же точке О
(рис. 7), так что
,
,
.
Предположим
сначала, что векторы
,
не
коллинеарны; тогда несущие их прямые
определяют некоторую плоскость. В этой
плоскости лежат и векторы
и
,
а значит, и весь параллелограмм, на этих
векторах построенный, в частности и его
диагональ
.
Значит все три вектора
,
,
компланарны.
Если векторы и коллинеарны, то коллинеарны как векторы , , так и их сумма - три вектора , , оказываются даже коллинеарными.
Если
же векторы
,
,
компланарны,
то либо один из них, например
,
лежит в одной плоскости с двумя другими
неколлинеарными векторами (следовательно
;
или
),
либо все три вектора коллинеарны
(следовательно
).
Тем самым следствие полностью доказано.
Следствие: Если три вектора некомпланарны, то они линейно независимы.
Теорема:
Любой вектор
может
быть представлен в виде линейной
комбинации трех некомпланарных векторов
,
и
(т.е.
найдутся такие числа λ,
μ, ν, что
).
Такое представление единственно.
Никакие два из векторов , и не коллинеарны, иначе все три были бы компланарны. Поэтому, если компланарен с какими-нибудь двумя из данных векторов, то наше утверждение вытекает из предыдущего следствия.
В
общем случае перенесем все векторы в
одну точку О
(рис. 8) и проведем через конец D
вектора
прямую,
параллельную вектору
.
Она пересечет плоскость ОЕ1Е2
в точке Р.
Очевидно, что
.
Согласно теореме из второго раздела и
предыдущему следствию существуют такие
числа λ,
μ и
ν,
что
и
.
Таким образом,
.
Единственность коэффициентов линейной комбинации доказывается так же, как и предыдущем следствии.
Следствие: Любые четыре вектора линейно зависимы