4.4.2 Расчет надежности восстанавливаемых систем с использованием метода переходных вероятностей

При произвольных функциях распределения времени безотказной работы и восстановления надежность систем анализируется путем дискретизации времени с заданием на каждом его интервале вероятностей перехода системы из одного состояния в другое. При постоянстве направлений переходов системы из одного состояния в другое и допущении об ординарности, независимости и стационарности потоков отказов система может быть отнесена к Марковским системам с дискретным временем. Отличительным свойством таких систем является то, что вероятность перехода системы в любое из возможных состояний, число которых ограничено, зависит только от текущего состояния и не зависит от предыдущего.

Надежность таких систем описывается системой алгебраических уравнений, число которых соответствует числу возможных состояний системы. Для составления используются ориентированные графы состояний. Вершина графа соответствует возможным состояниям системы, а ребра характеризуют направление и вероятность перехода из одного состояния в другое.

В качестве примера проанализируем надежность системы защиты, которая может находиться в трех состояниях: работоспособном, ложного срабатывания и неработоспособном, обозначенных соответственно цифрами 1,2,3 (рисунок 4.27).

Рисунок 4.27 – Граф состояний системы

За интервал времени Δt с вероятностью р₁₁ система сохраняет свою работоспособность либо с вероятностью р₁₂ и р₁₃ переходит в неработоспособное состояние 2, 3. За этот же интервал времени после ложного срабатывания система с вероятностью р₂₁ восстанавливается и возвращается в работоспособное состояние 1. За интервал времени Δt система может сохранять состояние 2, вероятность этого события составляет р₂₂. Аналогично вероятность р₃₃, р₃₁ характеризует качество восстановления системы после ее несрабатывания. При восстановлении всех отказывающих систем р₂₂=р₃₃=0, а р₃₁=1.

Вероятность нахождения системы в любом из состояний после i интервалов времени определяется следующей системой алгебраических уравнений:

(4.52)

После любого количества интервалов р₁(i)+р₂(i)+р₃(i)=1. Для решения этой системы уравнений необходимо задать начальные распределения вероятностей между отдельными состояниями системы. При работоспособном состоянии системы в начальный период времени Р₁(0)=1, а Р₂(0)=Р₃(0)=0.

Вероятность нахождения системы после i интервала в состоянии j рассчитывается по формуле

(4.53)

где М(0)=||Р₁(0)Р₂(0)Р₃(0)|| – вектор-строка начального состояния системы, М – матрица переходов; D_j – вектор-столбец анализируемого состояния.

Вектор-столбец D_j содержит нули и одну единицу, которая состоит на месте анализируемого состояния. Так, если после i интервалов определяется вероятность нахождения системы в состоянии ложного срабатывания, то

(4.54)

Матрица переходов составляется непосредственно по графу состояний, для рассматриваемого примера

(4.55)

Матрица переходов является квадратной, число строк и столбцов соответствуют числу состояний системы. Для записи матрицы удобно воспользоваться следующим приемом. Если вне матрицы обозначить через 1i, 2i, 3i состояния системы после i интервалов, 1(i-1), 2(i-1), 3(i-1) ее предшествующие состояния, то вероятность того, что система за время t+Δt не выйдет из первого состояния, равна произведению вероятности того, что система находится в момент времени t в первом состоянии и не перейдет из него за время Δt во второе и третье состояние, плюс вероятность того, что система находилась во втором и третьем состоянии и перейдет из них в первое состояние. Для первого состояния это уравнение имеет вид (4.52).

Таким образом, строки матрицы переходов определяют вероятности сохранения того или иного состояния и выхода из него в другие состояния системы, сумма этих вероятностей равна единице.

Столбцы матрицы представляют собой коэффициенты уравнений при P_j(i-1). Эти коэффициенты определяют вероятности прихода системы в анализируемое состояние из всех возможных, включая анализируемое. При перемножении матриц их перестановка в (4.53) не допускается. При высоком порядке матрицы переходов для расчета этого выражения используется z-преобразование.

74