Решение однородного дифференциального уравнения в системе математического моделрования MathCad (нахождение свободного колебания в цепи)
(Рисунок №4) График выходного сигнала при Y(t)=1.
Выводы: На данном графике можно наблюдать плавный спад выходного напряжения. В начальный момент времени, напряжение на выходе цепи равно единице, а напряжение на катушке равно нулю, через неё течет ток. Катушка индуктивности при протекании тока запасает энергию в своём магнитном поле. При отключении внешнего источника тока, стремясь поддержать величину тока в цепи, катушка отдаст запасенную энергию, которая рассеется на сопротивлении.
Наити решение неоднородного дифференциального уравнения описывающего завсимость выходного сигнала от входного, при подаче на вход цепи сигнала, имеющего вид продифференцированного гауссовского импульса. Напряжение цепи в момент времени t=0 равно (Y(t)=0).
Зададим параметры входного сигнала, и сам сигнал:
- наш входной сигнал
(Рисунок №5) График входного сигнала (производная от гауссовского импульса).
Решение неоднородного дифференциального уравнения в системе математического моделрования MathCad
(Рисунок №6) График выходного сигнала (производная от гауссовского импульса).
Вывод: На полученном графике мы можем наблюдать, что выходной сигнал отстаёт по времени от входного сигнала. Сдвиг по времени возникает из-за того, что катушка имеет электрическое сопротивление переменному току, обусловленное передачей энергии магнитным полем в катушке. Реактивное сопротивление создаёт расхождение во времени изменения тока и напряжения. Так же, мы можем наблюдать падение напряжения на выходном сигнале из-за сопротивлений в цепи.
Основные выводы
В ходе данной курсовой работы мы обрели навыки для описания компьютерной
модели процессов происходящих в электрических цепях на основе дифференциальных
уравнений и законов физики.
В ходе данной курсовой работы были решены следующие задачи:
Составлено неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка (7), описывающее зависимость выходного сигнала от входного в заданной электрической цепи. Уравнение первого порядка, так как цепь содержит один реактивный элемент – катушку индуктивности.
С помощью системы математического моделирования MathCAD, были получены решения данного дифференциального уравнения (7) при трёх различных начальных условиях. На основе решений данного дифференциального уравнения, была установлена зависимость выходного сигнала от входного. Эта зависимость была изображена на графиках.
Зависимость выходного сигнала от входного в переходном процессе:
На полученном графике (Рисунок №4) мы можем наблюдать, что после подачи единичного скачка напряжения на вход цепи происходит мгновенное увеличение выходного напряжения до , по причине того, что в начальный момент времени ток через катушку не протекает, и два одинаковых по величине сопротивления, соединённые последовательно, делят входное напряжение пополам. Далее, мы наблюдаем постепенное увеличения выходного напряжения и установление его стабильного состояния. Такой эффект мы наблюдаем так как скорость изменения тока через катушку ограничена и определяется индуктивностью катушки. При подключении источника питания, ток через индуктивность возрастает постепенно, и скорость изменения тока зависит от величины индуктивности.