Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

Поток вектора напряженности через площадку dS

;

Поток вектора напряженности сквозь замкнутую поверхность S

Для замкнутых поверхностей за положительное направление нормали принимается внешняя нормаль, т.е. нормаль, направленная наружу области, охватываемой поверхностью.

Размерность потока вектора напряженности – 1 В∙м.

Примеры вычисления потока вектора

Поток вектора сквозь сферическую поверхность радиусом , охватывающую точечный заряд

Поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность, окружающую зарядов

Теорема Гаусса для поля в вакууме

Случай дискретного распределения зарядов

Случай непрерывного распределения зарядов

где - объемная плотность заряда. .

Применение теоремы Гаусса к расчету полей в вакууме

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Поверхностная плотность заряда ;

Напряженность электрического поля .

Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей

Плоскости заряжены с поверхностной плотностью + и - . Поле этих плоскостей находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой плоскостью

.

Поле равномерно заряженной сферической поверхности

; . Сферическая поверхность радиусом с общим зарядом заряжена равномерно с поверхностной плотностью . Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напряженности направлены радиально (см. рисунок слева). При поле убывает с расстоянием по такому же закону, как и у точечного заряда. График зависимости от приведен на рис. справа. Если , то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности .

Поле объемно заряженного шара

Шар радиусом с общим зарядом (рис. а) заряжен равномерно с объемной плотностью .

; (1) (2)

График зависимости от приведен на рис. б.

Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра

Линейная плотность заряда .

; ; Если , то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области .

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

Работа перемещения заряда в электростатическом поле из точки 1 в точку 2 в поле заряда

Электростатическое поле потенциально – А₁₂ не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек.

Теорема о циркуляции вектора

Элементарная работа сил поля по перенесению единичного заряда на пути

.

- циркуляция вектора .

- равенство нулю означает, что электростатическое поле потенциально. Это теорема о циркуляции вектора и она справедлива только для электростатического поля.

Потенциал электростатического поля

Потенциальная энергия заряда в поле заряда на расстоянии от него –

.

Работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии, т.е. можно представить как разность потенциальных энергий заряда в начальной и конечной точках поля заряда :

.

Потенциальная энергия заряда в поле, создаваемом системой точечных зарядов , равна сумме потенциальных энергий , создаваемых каждым зарядом в отдельности.