Уравнение колебательного контура
Рассмотрим
колебательный контур, который помимо
,
и
,
содержит внешнюю переменную ЭДС
.За
положительное направление обхода
выберем, например, направление по ходу
часовой стрелке (рис.1).
Рис. 1
Ток считается положительным, если течет по контуру в положительном направлении, и отрицательным – в противоположном направлении.
Токи считаются квазистационарными (мгновенные значения тока практически одинаковы на всех участках цепи), что позволяет использовать формулы для статических полей, в частности закон Ома.
Обозначим через заряд той из обкладок конденсатора, направление которой к другой обкладке совпадает с положительным направлением обхода.
Закон
Ома для участка цепи
:
(1)
где
ЭДС самоиндукции
(катушка
считается недеформируемой и не имеющей
ферромагнитного сердечника), а разность
потенциалов
.
Тогда уравнение (1) примет вид:
(2)
Учитывая,
что
и
,
получим уравнение
колебательного контура:
(3)
Уравнение колебательного контура (3) может быть представлено в виде:
(4)
где
(5)
- коэффициент затухания;
(6)
- собственная частота колебательного контура.
При
(в
контуре отсутствует внешняя ЭДС)
электрические колебания являются
свободными,
при
-
незатухающими,
при
-затухающими.
Свободные незатухающие колебания в контуре
Рассмотрим колебательный контур, в котором активное сопротивление и отсутствует внешнее сопротивление ЭДС ( ). В данном случае (см. формулы 3,4) уравнение свободных незатухающих колебаний имеет вид
(7)
Или
, (7а)
Решение уравнения (7)
(8)
Где
-
амплитуда колебаний заряда конденсатора;
-
начальная фаза колебаний заряда на
конденсаторе. Значения
,
определяются
начальными
условиями,
а
-
свойствами
колебательного контура.
Период свободных незатухающих электрических колебаний определяется формулой Томсона:
(9)
Сила тока в колебательном контуре и напряжение в конденсаторе
(10)
(11)
Где
,
-
соответственно амплитуды силы тока и
напряжения. Из выражений (8) и (10) вытекает,
что колебания тока
опережают
по фазе колебания заряда на
,
т.е. при достижении током максимального
значения, заряд ((а также и напряжение
(см.(11)) обращается в нуль, и наоборот.
Свободные затухающие колебания в контуре
Рассмотрим реальный колебательный контур ( ), но в нем отсутствует внешняя ЭДС ( ). В данном случае уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид
(12)
Или
(13)
В уравнении (12) - коэффициент затухания; - собственная частота колебательного контура.
Колебания
заряда в случае малых затуханий (
)
совершаются по закону
(14)
с частотой
(15)
Меньше
собственной частоты
колебательного
контура. При
формула
(15) переходит в формулу (6).
Зависимость
(14) представлена на рис. 2 сплошной кривой,
а амплитуда затухающих колебаний
-
штриховыми линиями.
Рис. 2
Колебание не гармоническое. Как и в случае механических затухающих колебаний величину
называют периодом затухающих колебаний.
Логарифмический декремент затухания
(16)
а добротность колебательного контура
(17).
При
вместо
колебаний будет происходить апериодический
разряд
конденсатора. Активное
сопротивление
контура, называемое критическим,
при котором наступает апериодический
процесс, определяется из условия
,
Откуда
.