Вопрос 17

Рассмотрим сначала понятие сложной функции. Пусть функция g определена на множестве X и может принимать значения в множестве U. В таком случае говорят, что функция g отображает множество X в U, а сама функция записывается как

Представим теперь, что на множестве U задана другая функция f, которая отображает множество U в Y:

Такое двойное отображение, при котором область значений первого отображения является подмножеством области определения второго отображения, называется композицией отображений, а соответствующие функции образуют композицию функций.  Если  g : X → U и  f : U → Y, то композиция функций g и f обозначается как

и представляет собой "двухслойную" сложную функцию или функцию от функции.  Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция   также дифференцируема по x и ее производная равна

Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно иметь ввиду, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)!  Докажем приведенную формулу.  Возьмем произвольную точку x₀. Будем считать, что функция u = g(x) дифференцируема в точке x₀, а функцияy = f(u), соответственно, дифференцируема в точке u₀ = g(x₀). Это означает, что в указанных точках существуют производные g'(x) и f'(u), а функции g(x) и f(u) являются непрерывными в некоторой окрестности этих точек.  Производная внешней функции y = f(u) в точке u₀ записывается через предел в виде

Это выражение можно переписать в такой форме:

где ошибка ε(Δu) зависит от приращения Δu и выполняется условие

Разделим выражение для Δy на приращение внутренней переменной Δx ≠ 0:

Поскольку внутренняя функция u = g(x) дифференцируема в точке x₀, то

Заметим также, что   в силу непрерывности функции u(x) и, следовательно,

В результате производная сложной функции в точке x₀ выражается следующей формулой:

Данное правило дифференцирования легко обобщается на случай композитных функций, состоящих из трех и более функций. Так, например, производная "трехслойной" сложной функции  y = f (g(h(x)))  находится по формуле

Можно заметить, что производная сложной функции представляется в виде последовательного произведения производных составляющих функций, причем аргументы функций согласованы (сцеплены) таким образом, что значение внутренней функции служит аргументом для следующей за ней внешней функции. Поэтому правило дифференцирования сложной функции часто называют "цепным правилом" (chain rule). 

Производная функции, заданной неявно

Или короче – производная неявной функции. Что такое неявная функция? Поскольку мои уроки носят практическую направленность, я стараюсь избегать определений, формулировок теорем, но здесь это будет уместно сделать. А что такое вообще функция?

Функция одной переменной   – это правило, по которому каждому значению независимой переменной   соответствует одно и только одно значение функции  .

Переменная   называется независимой переменной или аргументом. Переменная   называется зависимой переменной или функцией.

Грубо говоря, буковка «игрек» в данном случае – и есть функция.

До сих пор мы рассматривали функции, заданные в явном виде. Что это значит? Устроим разбор полётов на конкретных примерах.

Рассмотрим функцию 

Мы видим, что слева у нас одинокий «игрек» (функция), а справа – только «иксы». То есть, функция   в явном виде выражена через независимую переменную  .

Рассмотрим другую функцию:   

Здесь переменные   и   расположены «вперемешку». Причем никакими способами невозможно выразить «игрек» только через «икс». Что это за способы? Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу пропорции и др. Перепишите равенство   и попробуйте выразить «игрек» в явном виде:  . Можно крутить-вертеть уравнение часами, но у вас этого не получится.

Разрешите познакомить:   – пример неявной функции.

В курсе математического анализа доказано, что неявная функция существует (однако не всегда), у неё есть график (точно так же, как и у «нормальной» функции). У неявной функции точно так же существует первая производная, вторая производная и т.д. Как говорится, все права секс-меньшинств соблюдены.

И на этом уроке мы научимся находить производную от функции, заданной неявно. Это не так сложно! Все правила дифференцирования, таблица производных элементарных функций остаются в силе. Разница в одном своеобразном моменте, который мы рассмотрим прямо сейчас.

Да, и сообщу хорошую новость – рассмотренные ниже задания выполняются по довольно жесткому и чёткому алгоритму без камня перед тремя дорожками.

Пример 1

Найти производную от функции, заданной неявно 

1) На первом этапе навешиваем штрихи на обе части:

2) Используем правила линейности производной (первые два правила урока Как найти производную? Примеры решений):

3) Непосредственное дифференцирование.  Как дифференцировать   и   совершенно понятно. Что делать там, где под штрихами есть «игреки»?

 – просто до безобразия, производная от функции равна её производной:  .

Как дифференцировать  Здесь у нас сложная функция. Почему? Вроде бы под синусом всего одна буква «игрек». Но, дело в том, что всего одна буква «игрек» – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ(см. определение в начале урока). Таким образом, синус – внешняя функция,   – внутренняя функция. Используем правило дифференцирования сложной функции  :

Произведение дифференцируем по обычному правилу  :

Обратите внимание, что   – тоже сложная функция, любой «игрек с наворотами» – сложная функция:

Само оформление решения должно выглядеть примерно так: Если есть скобки, то раскрываем их:

4) В левой части собираем слагаемые, в которых есть «игрек» со штрихом. В правую часть – переносим всё остальное:

5) В левой части выносим производную   за скобки:

6) И по правилу пропорции сбрасываем эти скобки в знаменатель правой части:

Производная найдена. Готово.

Интересно отметить, что в неявном виде можно переписать любую функцию. Например, функцию    можно переписать так:  . И дифференцировать её по только что рассмотренному алгоритму. На самом деле фразы «функция, заданная в неявном виде» и «неявная функция» отличаются одним смысловым нюансом. Фраза «функция, заданная в неявном виде» более общая и корректная,    – эта функция задана в неявном виде, но здесь можно выразить «игрек» и представить функцию в явном виде. Под фразой «неявная функция» понимают «классическую» неявную функцию, когда «игрек» выразить нельзя.

Второй способ решения

Внимание! Со вторым способом можно ознакомиться только в том случае, если Вы умеете уверенно находить частные производные. Начинающие изучать математический анализ и чайники, пожалуйста, не читайте и пропустите этот пункт, иначе в голове будет полная каша.

Найдем производную неявной функции   вторым способом.

Переносим все слагаемые в левую часть:

И рассматриваем функцию двух переменных:

Тогда нашу производную можно найти по формуле  Найдем частные производные:

Таким образом:

Второй способ решения позволяет выполнить проверку. Но оформлять им чистовой вариант задания нежелательно, поскольку частные производные осваивают позже, и студент, изучающий тему «Производная функции одной переменной», знать частные производные как бы еще не должен.