1.2.6. Применение теории нечетких множеств при формализации знаний

Понятия, которыми оперирует человек в различных областях знаний, являются по своей природе слишком сложными и многоплановыми для того, чтобы использовать для их представления только традиционные, точные, хорошо определенные модели и алгоритмы. Многие понятия вследствие субъективности человеческого мышления, приблизительного характера умозаключений и лингвистического их описания оказываются нечеткими по своей природе и требуют для своего представления соответствующего аппарата. Создание такого аппарата связано с именем Л. Заде, предложившим в 1965 г. теорию нечетких множеств. Эта теория стала мощным инструментом для решения широкого круга проблем, в которых важное место занимают субъективные, трудно формализуемые знания человека. Особый интерес теория нечетких множеств вызывает в связи с исследованиями и разработками так называемых экспертных систем.

Рассмотрим некоторые аспекты представления знаний с помощью теории нечетких множеств на примере моделирования процесса управления некоторой технологической установкой.

На вход установки (рис. 1.9.) поступает сырье С, характеризующееся температурой и плотностью . Основными управляющими параметрами установки являются давление Р, температур низа и верха колонны. На выходе установки получаются целевые продукты и .

Параметры модели , , Р, и будем рассматривать как лингвистические переменные.

Рис. 1.9. Модельное представление установки

Известно, что лингвистической называют переменную, если ее значениями являются слова, фразы естественного языка.

Лингвистическая переменная может быть описана набором (X, Т, U, G, М), где:

• X— название переменной;

• Т — терм-множество переменной X, т. е. множество всех названий лингвистических значений переменной X, причем каждое из таких значений является нечеткой переменной X со значениями из универсального множества U с базовой переменной и;

• G — синтаксическое правило, порождающее названия X значения переменной X;

• М— семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной X смысл М(Х).

Конкретное название X, порожденное синтаксическим правилом G, называется термом.

Нечеткое подмножество М определяется как некоторое множество в X с функцией принадлежности (X), принимающей значения из интервала [0, 1]:

М= (Х)/Х,

где : Х—>[0, 1] — функция принадлежности.

Будем считать, что на основе изучения технологического процесса было установлено, что наиболее информативными для управления являются параметры:

• температура низа колонны ( ),

• температура верха колонны ( ),

• давление Р.

Следующим шагом является определение области изменения каждого параметра. Пусть область изменения определяется интервалом [90...300]°С, — [200... 400]°С, давления Р — [40 ...70] атм.

На основе данных, полученных в результате опроса экспертов, в качестве которых выступали операторы установки, для рассматриваемых лингвистических переменных были определены следующие терм-множества:

Т (температура ) = низкая + средняя + высокая;

Т (температура ) = низкая + средняя + высокая;

Т (давление Р) = ниже нормы + норма + выше нормы.

Определим также лингвистические переменные, описывающие выход целевых продуктов и , области изменения которых находятся соответственно в интервале [90, 300] и [120, 250]. Соответствующие терм-множества запишутся в следующем виде:

Т (выход продукта ) = малый + средний + большой;

Т (выход продукта ) = малый + средний + большой.

Для каждого терма из терм-множеств, определенных для лингвистических переменных, строится соответствующее нечеткое множество М со своим носителем, определяемым на основе изучения экспертных оценок. При этом под носителем нечеткого множества понимают множество Х' , такое, что:

Результаты данного этапа моделирования представлены в табл. 1.4.

Таблица 1.4.

Наименование лингвистической переменной	Термы	Носитель нечеткого множества
Температура низа колонны tH	Низкая	90-220
	Средняя	190-250
	Высокая	245-300
Температура верха колонны tg	Низкая	200-250
	Средняя	240-330
	Высокая	321-400
Давление Р	Ниже нормы	40-51
		50-63
	Норма	62-70
	Выше нормы
Выход продукта П1	Малый	90-158
	Средний	147-236
	Большой	230-300
Выход продукта П2	Малый	120-156
	Средний	151-210
	Большой	208-250

На следующем этапе строится набор правил, описывающих технологический процесс. Эти правила имеют вид: ЕСЛИ А = N, ТО В = М, где А, В - лингвистические переменные; N,M - термы соответствующих лингвистических переменных. Например, одно из правил имеет вид:

ЕСЛИ температура низа колонны = <низкая>, ТО выход продукта = <большой>.

На основе набора правил строится матрица нечетких отношений. Как известно, нечеткое бинарное отношение R есть подмножество декартового произведения X Y:

R= (x,y)/(x,y).

Далее построенные матрицы объединяются

= тах( ,..., ).

Для организации логического вывода используется композиционное правило логического вывода, частным случаем которого является известный силлогизм Modus Ponens

ПОСЫЛКА 1 ЕСЛИ х есть А, ТО у есть В

ПОСЫЛКА 2 х есть А

ВЫВОД у есть В.

Композиционное правило Л. Заде утверждает, что композиция нечетких отношений

R(u) = A,R(u, ) = F

есть

R( ) = A F,

где — знак композиции. При этом функция принадлежности определяется как

Известно достаточно большое число нечетких отношений, используемых в композиционных правилах вывода, например:

1.

2.

3. . 4.

где

5- где

6.

7.

Возвращаясь к приведенному в качестве примера правилу и учитывая, что нечеткие множества определены в виде

N = низкая = 1/100 + 0,4/200,

М = большая = 0,4/200 + 1/300,

получаем:

ЕСЛИ A =N, то B = M = N M + N V =

= (1/100 + 0,4/200) (0,4/200+1/300) + (0,6/200+ +1/300)

(1/100+1/200+1/300) =

= 0,4(100, 200) + 1/(100, 300) + 0,6/(200, 100) + 0,6/(200, 200) + 0,6/(200, 300) +

+ 1/(300, 100) + 1/(300, 200) + 1/(300, 300).

Последнее можно записать в виде матрицы:

Пусть теперь текущее значение температуры низа колонны = почти низкая = 1/100 + 0,4/200 + 0,2/300.

Для определения выхода продукта П1 необходимо применить композиционное правило вывода

т.е. =0,4/100 + 0,4/200+1/300. Условно полученный результат может быть интерпретирован как «почти большой».

1.2.7. Нейронные сети