2 5 7 Лаплас, z-перетворення

В приложениях часто вместо функции времени f(t) задается последовательность значений f_n(n = 0,1,...), измеренных че­рез определенные промежутки времени, например, в моменты времени t=0,1,... Преобразование Лапласа применимо к функциям, а не к последовательностям. Тем не менее, это преоб­разование можно применять и к последовательностям f_n, если последние заменять ступенчатой функцией f₀(t), определенной условиями

Рис.1.1. Замена последовательности ступенчатой функции.

Так как функция f₀(t) кусочно-постоянная, то ее ς-изображение можно вычислить следующим образом:

(1.1)

Каждый раз, когда составляется такая ступенчатая функция и выполняется соответствующее преобразование Лапласа, появ­ляется множитель (1-e^-s)/s. Можно упростить запись, если от­бросить этот множитель. Тогда в правой части соотношения (1.1) останется только сумма

как результат непосредственного преобразования последователь­ности f_n. Такое преобразование обозначается символом Д и называется дискретным преобразованием Лапласа. Итак мы имеем

(1.2)

Д-преобразование можно рассматривать так же, как ς-преобразование, но не функции, а распределения. В самом деле, по­следовательность f_n=f(n), выделенная из непрерывно заданной функции f(t), может рассматриваться как результат действия импульсов δ(t-n), извлекающих из f(t) в моменты времени t=n значения f(n). Иными словами, совокупность этих импуль­сов, представляемая распределением

модулируется посредством функции f(t), в результате чего по­лучается соотношение

где f*(t) есть распределение. Применив к распределению f*(t) преобразование Лапласа, мы получим:

Следовательно,

(1.3)

Такое физически понятное толкование Д-преобразования как ς-преобразования некоторого распределения играет важную роль в теории импульсных элементов.

Итак, задачи, возникающие в связи с исследованием после­довательностей, могут решаться либо применением преобразо­вания Лапласа к соответствующим ступенчатым функциям, либо более кратким путем, посредством дискретного преобразования Лапласа самих последовательностей. Однако вычисления ста­новятся еще более простыми, если вместо переменной s ввести новую переменную z посредством подстановки e^s = z. Тогда ряд (1.2) переходит в ряд по понижающимся степеням z, и пре­образование принимает вид

(1.4)

Мы присвоили этому преобразованию символ 3, поскольку в тех­нической литературе, где оно стало применяться примерно с 1950 г., его принято называть z-преобразованием (по букве z, выбранной для обозначения переменной). Правда, такое назва­ние противоречит существующему обычаю называть часто при­меняемые преобразования по имени ученого, но поскольку оно укоренилось, его уже трудно изменить). В дальнейшем мы бу­дем говорить о нем, как о 3-преобразовании, применяя для обо­значения готическую букву в соответствии с тем, как это при­нято для ς-преобразования и Д -преобразования.

3-преобразование переводит последовательность-оригинал f_n в изображение F*(z). И в этом случае вместо записи 3{f_n}=F*(z) мы иногда будем пользоваться знаком соответ­ствия

Три преобразования ς, Д и 3 связаны между собой важными соотношениями

(1.5)

Как известно из теории аналитических функций, ряд (1.4) сходится вне некоторого круга в комплексной плоскости, т. е. при |z|>R 0 (рис. 1.2). Необходимым и достаточным усло­вием существования такого круга (т. е. чтобы его радиус R не был равен бесконечности) является наличие двух таких положи­тельных постоянных K и k, что

(1.6)

Рис.1.2. Область сходимости изображения F*(z).

Изображение F* представляет собой при |z|>R, включая z=∞, аналитическую функцию, поэтому все ее особенности лежат внутри круга

Пример:

, при |z|>e^{Re α}.

Отсюда, положив α=0, мы получим изображение для последовательности f_n ; далее, путем линейных комбинаций мы найдем изображения для последова­тельностей cos αn, ch αn и т. д. (см. таблицу 1.1 ).

Каждой последовательности f_n, удовлетворяющей условию (1.6), однозначно соответствует функция F*(z), аналитическая во внешности круга |z|>R, включая ∞ (но при этом R k). Обратно, каждая такая функция однозначно определяет последовательность /_п, которую можно найти одним из следую­щих способов.