Метод Эйлера-Коши

В основе метода ломаных Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной форме.

Пусть дано уравнение

(3)

с начальным условием

(4)

Получение значений искомой функции y(x) по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул:

(5)

Существуют различные уточнения метода Эйлера, повышающие его точность. Модификации метода обычно направлены на то, чтобы более точно определить направление перехода из точки (x_i, y_i) в точку (x_i+1, y_i+1). В методе Эйлера - Коши, например, предлагается следующий порядок вычислений:

(6)

Геометрически это означает, что мы определяем направление интегральной кривой в исходной точке (x_i, y_i) и во вспомогательной точке , а в качестве окончательного берем среднее этих направлений.

В соответствии с методом Эйлера – Коши запишем итерационные уравнения нахождения значения скорости v _i+1 в следующий момент времени из предыдущего значения v _i. Обозначим через  – шаг по времени:  = t_i+1 - t_i .Обозначим правую часть второго уравнения системы (2) через:

(7)

Тогда в момент времени t_i+1 согласно методу Эйлера – Коши запишем формулы:

(8)

В итоге, подставляя (7) в формулы (8), получим:

Для ускорения процесса работы над задачей целесообразно вместо составления программы на алгоритмическом языке воспользоваться готовой прикладной программой (например, табличным процессором Excel).

Вычисления в Excel

На рабочем листе Excel в ячейках D2, D4, D6, D8 будем хранить соответственно значения: шага вычислений - , массы «безпарашютиста» - m, величины - mg, коэффициента k₂. Все константы удобно хранить в отдельных ячейках: в ячейке E2 будем хранить , в ячейке F2 - c - коэффициент лобового сопротивления, в ячейке G2 – рост парашютиста, в ячейке H2 – полуобхват грудной клетки, в ячейке I2 - площадь поперечного сечения. Будем вычислять в столбце А – значения времени – t_i, в столбце В – значения скорости - v_i. В ячейку А3 занесём начальное значение t₀=0, в ячейку В3 занесём начальное значение v₀ = 0. Тогда для вычисления значения v₁ в ячейке В4 нужно записать формулу:

=B3+$D$2/2*(($D$6-$D$8*B3^2)/$D$4+($D$6-$D$8*(B3+$D$2*($D$6-$D$8*B3^2)/$D$4)^2)/$D$4)

и произвести автозаполнение столбца В.

В столбце А в ячейку А4 нужно записать формулу: = А3+$D$2 и произвести автозаполнение столбца А.

Построение графика.

Выделим диапазон ячеек B3:B20, содержащий данные для построения графика. Значения из столбца A (диапазон A3:A20) будут откладываться по оси ОХ (ось времени), значения из столбца B (диапазон B3:B20) – по оси OY.

Выберем команду Вставка, Диаграмма. С помощью мастера диаграмм построим график в четыре этапа (шага):

Шаг 1.

В диалоговом окне Тип диаграммы на вкладке Стандартные выбрать тип диаграммы Точечная и вид – Точечная диаграмма со значениями, соединенными сглаживающими линиями.

Щелкнуть на кнопке Далее.

Шаг 2.

В окне Источник данных диаграммы на вкладке Диапазон данных проверить, что диапазон данных выбран правильно и установлен флажок опции Ряды в столбцах.

Выбрать вкладку Ряд и в поле Имя: ввести название графика Зависимость v от t.

Установить курсор в поле «Подписи оси Х» и занести диапазон ячеек по переменной t (столбец А – диапазон A3:A20).

Щелкнуть на кнопке Далее.

Шаг 3.

На этом шаге задаются параметры диаграммы (окно Параметры диаграммы).

На вкладке Заголовки ввести название диаграммы и наименования осей координат с указанием единиц измерения величин, откладываемых по этим осям:

в поле Название диаграммы — График зависимости v от t;

в поле Ось X (категорий) — Время t, (с);

в поле Ось Y (значений) — Скорость v, (м/c).

Шаг 4.

Последний шаг определяет местоположение диаграммы – окно Размещение диаграммы. Выбрать вариант – на том же листе.

Щелкнуть на кнопке Готово.

Результаты вычислений, выполненных в табличном процессоре:

Рисунок 1

Рисунок 2

Учтем, что  для разных задач нужно выбирать индивидуально. Если в задаче о безпарашютисте можно  взять равным 2 сек., то в задаче о парашютисте (при k₂=20)  равно 0,2 сек, т.к. скорость падения меньше. При падении в вязкой среде скорость чрезвычайно мала, поэтому  берется очень маленьким – например, 0,01 – 0,02 сек. При падении в вязкой среде нужно учитывать линейную составляющую скорости в силе сопротивления.

Примерно через 22 сек. после начала полета скорость становится постоянной и остается такой до приземления. Отметим, что в рассматриваемой ситуации сопротивление воздуха радикально меняет характер движения; при отказе от его учета график скорости заменился бы касательной к нему в начале координат.