1. Система броунівських частинок зі склеюванням

У даному пункті буде побудовано систему процесів, яка описує еволюцію броунівських частинок, що стартували з цілих точок числової прямої, рухаються незалежно до моменту зустрічі, потім склеюються і рухаються разом.

Основним результатом даного пункту є наступна теорема.

Теорема 1. Існує система випадкових процесів , яка задовольняє наступні властивості

1. для довільного , − вінерівський процес, що стартував з і має дифузію 1;

2. для довільних і ;

3. для довільних і

,

де

.

Причому умови 1) – 3) однозначно визначають розподіл у просторі .

Доведення. Дану систему процесів побудуємо конструктивно, використовуючи систему стандартних вінерівських процесів. Отже, нехай − сукупність стандартних вінерівських процесів. Покладемо

, .

Далі, для по індукції визначимо систему процесів , , наступним чином

Аналогічно визначимо систему процесів ,

.

Доведемо, що система задовольняє умови теореми.

Позначимо

Тоді для

Використовуючи (1) і співвідношення

,

маємо

,

Аналогічно і для

,

Далі з (1) та (2) маємо, що

,

Отже, задовольняє властивість 3) даної теореми.

Далі покажемо, що для довільного − вінерівський процес. Не обмежуючи загальності вважаємо, що . Обчислимо характерис-тику

Використовуючи теорему про мартингальну характеризацію вінерівського процесу (див. теорема 2.6.1 [2]) маємо, що , , − система вінерівських процесів.

Властивість 2) випливає з конструкції , .

Теорему доведено.

Зауваження 1. Відмітимо, що побудована система вінерівських процесів є зліченною підсистемою потоку Арратья, який був побудований в [1]

2. Еволюція важкої частинки в системі броунівських частинок зі склеюванням

Розглянемо наступну систему частинок. Частики, стартують з усіх цілих точок прямої і ті частинки, що стартували з ведуть себе аналогічно тим, які розглядались у першому пункті. Частина, що стартувала з має масу і при склеюванні з іншими частинками її маса зростає, а дифузія зменшується, а саме: маса частинки в момент часу рівна кількості частинок, що склеїлись з нею до моменту часу і дифузія обернено пропорційна масі.

У даному пункті, використовуючи побудовану систему вінерівських процесів із склеюванням (див. теорема 1) буде побудовано сукупність процесів, що описує поведінку даної системи процесів зі склеюванням. Має місце наступна теорема.

Теорема 2. Нехай − система випадкових процесів, яка задовольняє властивості 1) – 3) теореми 1. Тоді існує випадковий процес , такий, що

1. , − неперервний квадратично інтегрований мартингал відносно фільтрації

;

2. ;

3. для довільного

де

;

4. для довільних і

,

де

.

Крім того, розподіл , не залежить від вибору сукуності процесів .

Для доведення теореми доведемо допоміжну лему.

Лема 1. Нехай − неперервний квадратично інтегровний мартингал з характеристикою

, ,

де

,

який стартував з .

Тоді

,

де

, (3)

− стандартний вінерівський процес.

Доведення. Оскільки − квадратично інтегровний мартингал, то за теоремою представлення [2] існує вінерівський процес , такий, що

. (4)

Позначимо для

.

Тоді з (4), маємо, що

.

Отже,

.

За умовами леми

.

Отже,

.

Звідси

.

Лему доведено.

Доведення теореми 2. Нехай − стандартний вінерівський процес, який не залежить від . Використовуючи процес , побудуємо .

Візьмемо , і

, .

Нехай , , уже побудовані. Визначимо

,

,

Покажемо, що м.н. Спочатку відмітимо, що зростає. Нехай

,

.

Тоді з побудови легко бачити, що

. (5)

Покажемо, що . Позначимо

, .

Тоді − неперервний квадратично інтегровний мартингал з характерис-тикою

.

Згідно леми 1 для довільне

.

Оскільки [5], то .

Аналогічно . Звідси

.

Отже, з (5) .

Використовуючи лему Рісса існує підпослідовність :

м.н.

З монотонності маємо, що

м.н. (6)

Зауважимо, що

.

Звідси і з (6) існує границя

Причому

при . (7)

З (7) та з побудови , , легко бачити, що задовольняє умови теореми.

Теорему доведено.