Вынужденные колебания при гармоническом внешнем воздействии. Резонанс колебаний

В том случае, когда на колебательную систему оказывается периодическое внешнее воздействие, подчиняющееся гармоническому закону, колебания описываются уравнением вида:

,                                        (7.3.1)

где, также как и для случая затухающих свободных колебаний,   - коэффициент затухания,   - собственная частота системы, т.е. частота, с которой совершались бы колебания в отсутствии затухания,  - частота вынуждающего воздействия на систему.

В ыражение для коэффициента   зависит от вида колебательной системы и внешнего воздействия. Например, для пружинного маятника  , где   - амплитуда вынуждающей силы (рис 7.3.1). Для вынужденных колебаний в колебательном контуре:  , где   - амплитуда переменного напряжения, подаваемого на колебательный контур,   - индуктивность (рис 7.3.2).

  Общее решение такого неоднородного дифференциального уравнения (7.3.1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (7.1.1) и частного решения неоднородного уравнения. Эти два слагаемых соответствуют свободным затухающим колебаниям и незатухающим

колебаниям с частотой вынуждающей силы. По истечении некоторого промежутка времени решение уравнения (7.3.1) будет совпадать с частным решением.

Описываемый им режим движения называется установившимся режимом вынужденных колебаний. Соответству­ющее выражение имеет вид

.                 (7.3.2)

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы:

.                                                       (7.3.3)

Величина

                                                                          (7.3.4)

характеризует отставание по фазе вынужденного колебания от обусловившего это колебание внешнего воздействия. Следует отметить, что установившиеся колебания происходят с частотой вынуждающего воздействия , а не с собственной частотой. При =0 выражение (7.3.3) дает статическое отклонение

.                                                                                      (7.3.5)

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающего воздействия (рис. 7.3.3) приводит к тому, что при некоторой определенной для данной колебательной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего воздействия к некоторому значению называют явлением резонанса (резонансом). Резонансную частоту   находят, приравнивая нулю производную  , откуда

,                                                                       (7.3.6)

.                                                                     (7.3.7)

Для механических колебаний при резонансной частоте внешнего воздействия, определяемой по формуле (7.3.6), достигается максимум амплитуды смещения колеблющейся величины  , для электромагнитных колебаний в контуре  максимум амплитуды заряда q(t). Максимум амплитуды производной   (соответственно, скорости или тока) достигается при  . Максимум амплитуды второй производной   (соответственно, ускорения или напряжения на катушке индуктивности) достигается при  . Максимум средней мощности внешнего воздействия (для механических колебаний максимум мощности внешней силы  ) достигается при  . Если затухание невелико, то положения всех перечисленных максимумов почти не отличаются друг от друга. При малом затухании:

 ,    .                                    (7.3.8)

В данном случае, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда в момент резонанса a_рез превышает отклонение системы от положения равновесия a(0) под действием постоянного воздействия той же величины, ч то и амплитуда вынуждающего воздействия. Это утверждение справедливо только при малом затухании. Зависимость   называется резонансной кривой (см. рис.7.3.3.).

         В установившемся режиме вынужденных колебаний энергия колебательной системы остается неизменной. Система непрерывно поглощает от источника внешнего воздействия энергию, которая восполняет потери, связанные с наличием затухания (сила трения при механических колебаниях, выделение теплоты на активном сопротивлении при колебаниях в контуре).

Найдем среднюю энергию, поглощаемую в единицу времени. Вычисления проведем для пружинного маятника при наличии силы трения и периодически изменяющейся внешней силы. При смещении груза на dx внешняя сила совершит работу Fdx.

Работа, совершенная в единицу времени, будет равна  . Среднее значение поглощаемой в единицу времени энергии равно:

.                                                                               (7.3.9)

Здесь усреднение производится по одному периоду колебаний  . Подставляя в интеграл (7.3.9) выражение для силы,   и производную от смещения   из выражения (7.3.2), получаем

,                            (7.3.10)

где величина  определяется выражением (7.3.4). После интегрирования находим:

.                                                     (7.3.11)

Преобразование   с учетом (7.3.4) приводит к выражению:

.                                       (7.3.12)

Учитывая, что  , получаем:

.                                                             (7.3.13)

Как видно, поглощаемая в единицу времени энергия   зависит от частоты . Так как   имеет резонансный пик – максимум, то   имеет р езонансный пик – минимум (см. рис. 7.3.4) Поэтому измерения зависимости поглощенной энергии от частоты позволяют обнаружить резонансные явления и установить собственные частоты осциллирующих систем.