Математичні моделі цифрових автоматів

Ми вже розглядали закони функціонування, математичні моделі комбінаційних схем.

Розглянемо закон функціонування цифрових автоматів з погляду абстрактної теорії автоматів.

1. – Модель абстрактного цифрового автомата

Абстрактний автомат А − це узагальнене представлення опису функціонування моделі цифрової логічної системи у дискретному часі, яку визначають:

- множиною вхідних сигналів ;

- множиною вихідних сигналів ;

- множиною внутрішніх станів , включаючи й початковий, нульовий стан z₀;

- функцією переходів відображення множини вхідних сигналів на множину внутрішніх станів ;

- функцією виходів відображення множини вхідних сигналів і станів на множину вихідних сигналів .

Тоді, узагальнений закон або модель абстрактного автомата буде виглядати як математичний кортеж:

.

Автомат називають кінцевим, якщо кінцеві множини . Абстрактний автомат реалізує відображення множини слів вхідного алфавіту X на множину слів вихідного алфавіту Y.

Узагальнений закон функціонування автомата не відтворює його поведінку в часі, а саме це питання є іноді основним при аналізі й синтезі цифрових систем. Серед багатьох спроб дати математичний опис поведінки автомата в часі, найбільше поширення одержали автомати Мілі й Мура.

Закон функціонування автомата Мілі:

Наступний стан автомата залежить від функції переходів φ, стану автомата на даний час z(t) і вхідних сигналів у цей момент часу . Вихідні сигнали залежать від функції виходів , вхідних сигналів x(t) і внутрішнього стану автомата , де − автоматний, дискретний час визначений тактовими імпульсами; z₀ − початковий, нульовий стан.

Закон функціонування автомата Мура:

Тобто, в автоматі Мура вихідні сигнали залежать тільки від стану автомата в цей момент і не залежать від вхідних сигналів.

Завдання:

(Варіант 6)

ІЗ до лабораторної роботи включають синтез і створення нескладних моделей керуючого ЦА з твердою (тобто незмінною в ході виконання алгоритму) логікою для формування послідовності (ряду) мікрокоманд на його виході.

Таблиця 1− Таблиця станів та вихіжних мікрокоманд

Код стану	Q1	Q2	Q3	Q4	Код вих.ком.
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
7	0	1	1	1	41	0	1	0	1	0	0	1
15	1	1	1	1	67	1	0	0	0	0	1	1
3	0	0	1	1	94	1	0	1	1	1	1	0
9	1	0	0	1	117	1	1	1	0	1	0	1

Визначаємо функції збудження вихідних мікрокоманд:

;

;

;

;

;

.

Таблиця 2 − Таблиця переходів тригерів

Стани лічильника								Функції збудження тригерів
Вихідний (t)				Наступний (t+1)
Q1	Q2	Q3	Q4	Q1	Q2	Q3	Q4	J1	K1	J2	K2	J3	K3	J4	K4
0	0	0	0	0	1	1	1	0	*	1	*	1	*	1	*
0	1	1	1	1	1	1	1	1	*	*	0	*	0	*	0
1	1	1	1	0	0	1	1	*	1	*	1	*	0	*	0
0	0	1	1	1	0	0	1	1	*	0	*	*	1	*	0
1	0	0	1	0	0	0	0	*	1	0	*	0	*	*	1

Мінімізуємо і отримуємо остаточні функції збудження тригерів:

J₁=Q₃ J₂= Q̅₄ J₃= Q̅₁ J₄= Q̅₁

K₁=Q₁ K₂=Q₁ K₃= Q̅₂ K₄= Q̅₃

2. Схема ЦА згідно варіанту 6, побудована на JK-тригерах

Висновок: ми отримали навички освоєння основних етапів синтезу й створення нескладних моделей цифрових автоматів (ЦА) - обчислювальних пристроїв (ОП) з пам’яттю (на послідовністних схемах  тригерах, лічильниках, регістрах, їхніх комбінаціях) у вигляді опису їхнього стану (таблицями, графом, граф-схемою алгоритму – ГСА, їхньою комбінацією), розробки й моделюванню їх з використанням механізму імітаційного моделювання програми Electronics Workbench (EWB).