1.2 Триада математического моделирования

Математическое моделирование какого-либо объекта порождает такой план действий, который можно разбить на три этапа: модель – алгоритм – программа (рис. 2).

На первом этапе строится «эквивалент» объекта. Этот «эквивалент» отражает в математической форме важные для данного исследования свойства объекта: законы, которым подчиняется объект, связи, присущие его частям и т.д. Затем математическая модель исследуется теоретическими методами, что позволяет получить предварительные знания об объекте.

Второй этап – разработка алгоритма для реализации модели на компьютере. Модель представляется в форме, удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций, которые нужно произвести, чтобы найти искомые величины с заданной точностью. Вычислительные алгоритмы не должны искажать основные свойства модели и, следовательно, исходного объекта, быть экономичными и адаптирующимися к особенностям решаемых задач и используемых компьютеров.

Рис. 2. Триада математического моделирования

На третьем этапе создаются программы, «переводящие» модель и алгоритм на доступный компьютеру язык. К ним также предъявляются требования экономичности и адаптивности. Их можно назвать «электронным» эквивалентом изучаемого объекта, уже пригодным для испытания на компьютере.

Создав триаду «модель – алгоритм – программа», исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который отлаживается, тестируется в «пробных» вычислительных экспериментах. После того, как адекватность (достаточное соответствие) триады исходному объекту имеется, с моделью проводятся разные «опыты», дающие все требуемые свойства и характеристики объекта. Важно, что процесс моделирования сопровождается улучшением и уточнением всех звеньев триады.

1.3 Различные виды моделей

Модели классифицируют по следующим основаниям (рис. 3):

1) по характеру моделируемой стороны объекта;

2) по отношению ко времени;

3) по способу представления состояния системы;

4) по степени случайности моделируемого процесса;

5) по способу реализации.

Рис.3. Различные способы классификации моделей.

При классификации по характеру моделируемой стороны объекта выделяют следующие виды моделей (рис. 1):

1.1. Кибернетические или функциональные модели; в них моделируемый объект рассматривается как “черный ящик”, внутреннее устройство которого неизвестно. Поведение такого “черного ящика” может описываться математическим уравнением, графиком или таблицей, которые связывают выходные сигналы (реакции) устройства с входными (стимулами). Структура и принципы действия такой модели не имеют ничего общего с исследуемым объектом, но функционирует она похожим образом. Например, компьютерная программа, моделирующая игру в шашки.

1.2. Структурные модели –– это модели, структура которых соответствует структуре моделируемого объекта. Примерами являются командно-штабные учения, день самоуправления и т.д.

1.3. Информационные модели, представляющие собой совокупность специальным образом подобранных величин и их конкретных значений, которые характеризуют исследуемый объект. Выделяют вербальные (словесные), табличные, графические и математические информационные модели. Например, информационная модель студента может состоять из оценок за экзамены, контрольные и лабораторные работы. Или информационная модель некоторого производства представляет набор параметров, характеризующих потребности производства, его наиболее существенные характеристики, параметры выпускаемого товара.

По отношению ко времени выделяют:

1. Статические модели –– модели, состояние которых не изменяется с течением времени: макет застройки квартала, модель кузова машины.

2. Динамические модели представляют собой функционирующие объекты, состояние которых непрерывно изменяется. К ним относятся действующие модели двигателя и генератора, компьютерная модель развития популяции, анимационная модель работы ЭВМ и т.д.

По способу представления состояния системы различают:

1. Дискретные модели –– это автоматы, то есть реальные или воображаемые дискретные устройства с некоторым набором внутренних состояний, преобразующие входные сигналы в выходные в соответствии с заданными правилами.

2. Непрерывные модели –– это модели, в которых протекают непрерывные процессы. Например, использование аналоговой ЭВМ для решения дифференциального уравнения и т.д.

По степени случайности моделируемого процесса выделяют:

1. Детерминированные модели, которым свойственно переходить из одного состояния в другое в соответствии с жестким алгоритмом, то есть между внутренним состоянием, входными и выходными сигналами имеется однозначное соответствий (модель светофора).

2. Стохастические модели, функционирующие подобно вероятностным автоматам; сигнал на выходе и состояние в следующий момент времени задается матрицей вероятностей. Например, вероятностная модель ученика, компьютерная модель передачи сообщений по каналу связи с шумом и т.д.

По способу реализации различают:

1. Абстрактные модели, то есть мысленные модели, существующие только в нашем воображении. Например, структура алгоритма, которая может быть представлена с помощью блок–схемы. К абстрактным моделям также можно отнести различные графические модели, схемы, структуры, а также анимации.

2.Материальные (физические) модели представляют собой неподвижные макеты либо действующие устройства, функционирующие в чем–то подобно исследуемому объекту. Например, модель молекулы из шариков, макет атомной подводной лодки, двигателя и т.д.

Абстрактные модели подразделяются: на вербальные, математические и компьютерные.

К вербальным или текстовым моделям относятся последовательности утверждений на естественном или формализованном языке, описывающие объект познания.

Математические модели образуют широкий класс знаковых моделей, в которых используются математические действия и операторы.

Компьютерные модели представляют собой алгоритм или компьютерную программу, решающую систему логических, алгебраических или дифференциальных уравнений и имитирующую поведение исследуемой системы.