Сочетания.

Пусть дано множество, состоящее из n элементов. Выберем из него неупорядоченные подмножества, состоящее из m элементов. Все такие подмножества называются сочетаниями данного множества из n по m.

Составим сочетания множества {1;2;3}, состоящие из двух элементов: {1;2}{1;3}{2;3}. В данном случае число сочетаний из трех элементов по два равно трем. Обозначается число сочетаний из n-элементов по m так: .

Для вычисления числа сочетаний проведем следующее размышление.

Размещения отличаются от сочетания наличием порядка в подмножестве.

Чтобы получить размещение с порядком надо взять сочетание без порядка и добавить порядок в подмножестве.

Из примера видно число сочетаний:

При решении задач часто используется следующие сочетания: ; ; ; ;

Вычислить сочетание, число сочетаний из 8 по 3.

Случайное событие.

Наблюдение за многими процессами в технике, экономике и т.д. показывают, что некоторые параметры этих процессов не возможно выразить определенным числом. Например, число вызовов на АТС в течение часа не является строго определенной величиной, число деталей определенного размера среди серии изготовленных деталей не является строго определенной величиной. Все перечисленные величины являются случайными, то есть зависят от многих факторов.

Определение. Событие, которое в результате некоторых действий (испытаний) может произойти (наступить), а может не произойти, называется случайным событием.

Понятие случайного события является центральным в теории вероятности. Основная задача теории вероятности получить количественные оценки возможности появления следующего события. События обозначаются большими латинскими буквами A,B,C…

2. Статистическое определение вероятности.

Пусть в серии из n-одинаковых испытаний событие А наступило m раз. Относительной частотой появления события называется величина P*(A)=m*/n* (относительная частота).

Пример. Если при 7 подбрасываниях монеты орел выпадает 4 раза, то относительная частота появления орла при одном подбрасывании монеты P*(A)=4/7.

Если число испытаний невелико, то относительная частота появления события значительно отличается от других относительных частот при других испытаниях.

Если число испытаний очень велико, то относительные частоты появления одного и того же события мало отличаются друг от друга и их значения группируются возле некоторого числа. Другими словами, при n* относительная частота P*(A)P – статистическое определение вероятности.

Пользоваться статистическим определением вероятности неудобно, так как при большом числе опытов не всегда можно точно провести подсчет.

3. Классическое определение вероятности.

Случайные события можно разделить на элементарные, то есть на разлагающиеся на другие, и сложные, то есть представленные с помощью других событий.

Если бросить монету, то возможно наступление одного из двух элементарных событий (орел или решка). В силу симметрии монеты эти элементарные события могут наступить с одинаковыми возможностями. Если бросить игральную кость, то возможно наступление одного из шести элементарных событий.

Определение. Элементарные события, появление которых в данном испытании может произойти одинаковой возможностью, называют равновозможными.

Определение. События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в результате одного испытания (по времени такие события не совпадают).

Определение. Группа событий называется полной, если в результате испытания может произойти только одно событие из данной группы и не может произойти никакое другое событие, несовместное с ним.

Определение. Элементарные равновозможные несовместные события, образующие полную группу, называются исходами испытания.

Определение. Исходы испытания, влекущие за собой наступление события А, называется благоприятствующими исходами данного события.

Если n – число всех исходов испытания, а m – число благоприятствующих исходов, влекущих за собой наступление события A, то вероятность события А обозначается P(A) и P(A)=m/n – классическая вероятность.

Вероятность появления любого события – число, заключенное в отрезке. 0P(A)1.

Событие, которое не может наступить никогда, называется невозможным P(A)=0 (например, достать 1 белый из 10 черных шаров). Событие, которое наступает всегда, называется достоверным P(A)=1(например, достать один белый шар из 10 белых).