Контрольная работа на тему: Дифференциальные уравнения. Теория рядов.
Задание 1. Найти общее решение дифференциального уравнения.
1.
а)
;
б)
.
2.
а)
;
б)
.
3.
а)
;
б)
.
4.
а)
;
б)
.
5.
а)
;
б)
.
6.
а)
;
б)
.
7.
а)
;
б)
.
8.
а)
;
б)
.
9.
а)
;
б)
.
10. а)
;
б)
.
Задание 2. Найти
частное решение дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Задание 3. Исследовать сходимость числового ряда.
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
Задание 4. Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать на сходимость на концах интервала.
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
Задание 5. Разложить
функцию
в ряд Тейлора в окрестности точки
по
степеням
до четвертой степени включительно.
1.
,
;
2.
,
;
3.
,
;
4.
,
;
5.
,
;
6.
,
;
7.
,
;
8.
,
;
9.
,
;
10.
,
.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Т.2.-M.: Наука, 1985.- 560с.
2. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов - СПб.: Изд-во “Лань”, 2003. – 736c.
Методические указания к выполнению
контрольной работы
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальными
уравнениями первого порядка называются
уравнения вида
.
Определение.
Решением
дифференциального уравнения называется
всякая функция
,
которая, будучи подставлена в уравнение,
превращает его в тождество.
Определение.
Общим
решением дифференциального уравнения
первого порядка называется функция
,
которая является решением при каждом
фиксированном С
из некоторого
множества М,
и для любого решения
существует
такое значение С1
из М,
что
=
при
любом х,
т.е. любое решение получается из
выбором соответствующего С.
Перечислим основные типы уравнений и укажем способы их решения:
1) дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными это уравнение вида:
.
Решается
это уравнение делением его обеих частей
на
и затем интегрированием;
2)
однородное
дифференциальное уравнение.
Функция
,
называемая однородной степени
,
если для любого
выполняется
условие:
.
Дифференциальное
уравнение
называется
однородным, если функция
однородная нулевой степени. Такое
уравнение заменой
,
где
новая неизвестная функция, сводится к
уравнению с разделяющимися переменными.
3) линейное уравнение. Дифференциальное уравнение вида
(2)
называется
линейным дифференциальным уравнением
первого порядка. Оно сводится к двум
уравнениям с разделяющимися переменными
подстановкой:
где
и
новые неизвестные функции.
Пример.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
.
Решение. Преобразуем наше уравнение следующим образом:
;
.
Это
уравнение с разделяющимися переменными.
Разделив обе части последнего равенства
на
получим:
;
Интегрируя обе части уравнения, получим:
;
;
;
Последнее
равенство задает нам решение в виде
неявной функции
.
Обратим внимание на то что, что не все
решения задаются указанным равенством.
При делении на
могли быть потеряны решения
и
Очевидно
(подставьте в уравнение), что
является
решением, а
–
нет. Итак, общее решение задается двумя
формулами:
и
.
Пример.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
.
Решение. Преобразуем уравнение к следующему виду:
;
.
Если
правую часть последнего уравнения
обозначить через
,
то
=
=
=
Следовательно, рассматриваемое уравнение является однородным.
Положим теперь
,
или
,тогда
.
Подставляя в уравнение выражения для
у
и
,
получим:
;
;
Разделяем переменные
в последнем уравнении, деля его на
,
и интегрируем полученное равенство:
;
Отсюда
,
или
.
Здесь
мы вместо константы
для
удобства добавили константу
.
Заменяя
на
,
получим решение:
Последнее
равенство может давать не все решения,
часть из них могли потеряться при
разделении переменных (мы делили
уравнение на
).
Положим теперь
и
.
Но
не
является решением уравнения, а из
равенства
получаем,
что
,
или
.
Непосредственной подстановкой в
уравнение убеждаемся, что функции
являются
решениями. В нашем случае все решения
задаются тремя формулами:
;
и
.
Пример.
Найти общее решение линейного
дифференциального уравнения
Решение.
Это линейное уравнение, поэтому его
общее решение
будем искать
в виде
.
Тогда
Подставляя
у и
в
уравнение, получим:
Функцию найдем из того условия, что выражение в скобке в последнем равенстве должно обращаться в ноль:
.
Последнее уравнение неявно задает две серии функций:
Так
как нам достаточно взять какое-то частное
решение, то положим
В этом случае наше уравнение перепишется так:
Учитывая,
что
получим общее решение уравнения