4.Основні задачі. Вибірковий метод
В мат. Статистиці ми виходимо з реалізацій випадковий подій що носять числовий характер. Математична статистика розробляє різні методи збору і обробки регуляторів спостережень щоб за цими статистичними даними побудувати тереотеко-ймовірну модель випадкового явища.
Одним з основних завдань математичної статистики є знаходження розподілу випадкових велечин.
Розробка методів знаходження оцінок для параметрів розподілу
Дослідження точності одерженя оцінок
Превірка адекватності моделі(гіпотез)
Вибірковий метод
Нехай задача деяка сукупність об’єктів які волоіють спільного ознакою Для кожного конкретного об’єкта ми наперед не можемо передбачити яке значення набуває
Вивчення властивостей пов’язане із проведенням спостережень. Як правило дослідження не вся сукупність об’єктів, а ним деяка її частина і вже за цією вибіркою роблять висновок про всю сукупність. Цей сетод і назив вибірковим методом.
Множення
значень
які ми одержали в результаті n спостережень
назив вибіркою обсягом n а множина усіх
значень які може набувати вектор
називається генеральною сукупністю
ОЗН1.
Статистичний дані записані в порядку
зростання (
)
назив варіаційним рядом а різниця (
)
назив розмахом реал вибірки
ОЗН2.
Різні значення
у вибірці
називається варіантами
-
кількість появ варіанти
у вибірці
-
відносна частота варіанти.
Якщо
r<=n
варіанти то (
)
називається статистичним рядом частот.
Ломана з вершинами в цих точках
називається полігон частот.
({
-…відносних
частот). Для неперервних вв пропонується
інтервал [x,*,xn*]
розбити на підінтервал:
Ми
не аналізуємо кожне вибіркове значення,
а лише к-ть статист. даних що потрапило
в j-ий інтервал. (
Цей
набір так само назив. статистичним рядом
частот. За даним набором будують діаграми,
причому
Гістограма відносних частот (наближена щільність розподілу)
Якщо побудуємо повторну вибірку то результат i-го спостереження наперед можливо передбачити а значить його можна сприймати як вв (ξi), причому ця величина має той самий розподіл що і дослуджувана з самого початку вв ξ.
Озн. Вибіркою обсягом n назив послідовність із n незал. вв (ξ1…ξn) кожна з яких має той самий розподіл що і досліджувана вв ξ. Вибірка – це випадковий вектор з незалежними однаково розподіленими координатами. (x1…xn) – реалізація вибірки.
5. Емпірична функція розподілу(ерф). Відхилення емпіричної функції розподілу від теоретичної
Озн.
Функцією
(x)=
називається
емпіричною функцією розподілу.
Зафіксуємо ω є Ω
(х1,…,хn)
– реалізація
вибірки,
,…,
– варіація
1)х≤ , (x)=0
2)х
є (
)=
;
х є (
)
При фіксованому ω: (х) є:
Неспадною
Неперервною зліва
При х–>-∞ F=0, +∞=1:
ЕРФ є східчастою і при преході через кожне наступне значення стрибає на 1/n. Якщо деяке значення у вибірці зустрічається l – раз, то при переході через таке значення ЕРФ стрибає на l/n.
– є
відносною частотою події {ξ<x}.
(за озн.)
За законом великих чисел: → P{ξ<x}=F(x), де – частота події, Р – ймовірність.
Якщо вважати що є певним наближенням до F(x), то природно зацікавитися мірою відхилення. Запропонуємо в якості міри відхилення теоретичної функції розп. від емпіричної:
– випадкова
величина.
P{
}=
Обчислити
(*)
(-∞,
;
(
На
закритих інтервалах (*) =
або
– не
спадна функція
=
= F(
)-
(
)
=
=
або
=
F(
)–1
=
F(
)–
–∀ число
>
Висновок: щоб обчислити міру відхилення емпіричної від заданої теоретичної функції розподіл потрібно обчислити
k=
і вибрати з них найбільшу.