3. Довірчі оцінки генеральних параметрів розподілу (інтервальні оцінки)
Задамо декілька
значень довірчої імовірності у вигляді
вектора-стовпця
.
Обчислимо за ними рівні значущості
.
Для цих рівнів значущості знайдемо
довірчі інтервали для генеральних
параметрів: математичного очікування
,
дисперсії
,
асиметрії
і ексцесу
.
Довірчий інтервал для генерального математичного очікування має вигляд
, (0)
де
квантиль
-розподілу
Стьюдента, що відповідає імовірності
(з таблиць).
Довірчий інтервал для генеральної дисперсії знаходиться по формулі
, (0)
де
квантиль
- розподілу Пірсона,
що відповідає імовірності
(з таблиць).
Для знаходження довірчого інтервалу для генеральних асиметрії і ексцесу використовуємо нерівність Чебишева:
(0)
де
,
дисперсії вибіркової
асиметрії і ексцесу:
(0)
Порахуємо довірчі інтервали для всіх рівнів значущості.
%% 3. Довірчі оцінки генеральних параметрів розподілу (інтервальні оцінки)
p0=[0.9;0.96;0.99;0.999]; % задамо довірчі імовірності
p=1-p0; % рівні значущості
t=tinv(1-p/2,f); % квантилі розподілу Стьюдента з f степенями свободи (t-розподіл)
chi2l=chi2inv(1-p/2,f); % квантилі розподілу Пірсона (chi^2-розподіл)
chi2r=chi2inv(p/2,f);
TablDat=[p0,p,t,chi2l,chi2r]'; % формуємо таблицю для виведення результатів
Da=6*(n-1)/(n+1)/(n+3); % дисперсія вибіркової асиметрії
De=24*n*(n-2)*(n-3)/(n+1)^2/(n+3)/(n+5);% дисперсія вибіркового ексцесу
fprintf('Дані для формул 6-9\nDa=%10.5f De=%10.5f\n',Da,De);
disp(' p0 p t(1-p/2,f) chi2(1-p/2,f) chi2(p/2,f)');
fprintf('%8.4f%8.4f%10.5f%18.5f%18.5f\n',TablDat);
Mxd=[p,Mx-Sx*t/n^0.5,Mx+Sx*t/n^0.5]'; % формула (6)
disp('Довірчі інтервали для генерального математичного очікування');
fprintf('p=%8.4f: %8.5f<Mx<%8.5f\n',Mxd);
Dxd=[p,f*Dx./chi2l,f*Dx./chi2r]'; % формула (7)
disp('Довірчі інтервали для генеральної дисперсії');
fprintf('p=%8.4f: %8.5f<Dx<%8.5f\n',Dxd);
Axd=[p,Ax-(Da./p).^0.5,Ax+(Da./p).^0.5]'; % формула (8)
disp('Довірчі інтервали для генеральної асиметрії');
fprintf('p=%8.4f: %8.5f<Ax<%8.5f\n',Axd);
Exd=[p,Ex-(De./p).^0.5,Ex+(De./p).^0.5]'; % формула (8)
disp('Довірчі інтервали для генерального ексцесу');
fprintf('p=%8.4f: %8.5f<Ex<%8.5f\n',Exd);
Дані для формул 6-9
Da= 0.02353 De= 0.09043
p0 p t(1-p/2,f) chi2(1-p/2,f) chi2(p/2,f)
0.9000 0.1000 1.65100 286.80779 213.46527
0.9600 0.0400 2.06456 296.94682 205.34103
0.9900 0.0100 2.59572 310.23083 195.27591
0.9990 0.0010 3.33003 329.03777 182.04930
Довірчі інтервали для генерального математичного очікування
p= 0.1000: 5.20314<Mx< 6.30209
p= 0.0400: 5.06550<Mx< 6.43974
p= 0.0100: 4.88872<Mx< 6.61651
p= 0.0010: 4.64433<Mx< 6.86090
Довірчі інтервали для генеральної дисперсії
p= 0.1000: 24.04117<Dx<32.30125
p= 0.0400: 23.22030<Dx<33.57923
p= 0.0100: 22.22601<Dx<35.31001
p= 0.0010: 20.95563<Dx<37.87542
Довірчі інтервали для генеральної асиметрії
p= 0.1000: 1.19942<Ax< 2.16950
p= 0.0400: 0.91754<Ax< 2.45137
p= 0.0100: 0.15062<Ax< 3.21829
p= 0.0010: -3.16595<Ax< 6.53486
Довірчі інтервали для генерального ексцесу
p= 0.1000: 2.99545<Ex< 4.89730
p= 0.0400: 2.44283<Ex< 5.44992
p= 0.0100: 0.93929<Ex< 6.95346
p= 0.0010: -5.56287<Ex<13.45562