2.Эмпирическая функция распределения, ее свойства.

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Обозначим через   число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее x и через n – общее число наблюдений. Очевидно, относительная частота события X<x равна   и является функцией x. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию  , определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x. Таким образом, по определению  , где   – число вариант, меньших x, n – объем выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки, функцию распределения   генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между этими функциями состоит в том, что теоретическая функция  определяет вероятность события X<x, тогда как эмпирическая – относительную частоту этого же события.

При росте n относительная частота события X<x, т.е.   стремится по вероятности к вероятности  этого события. Иными словами:

.

Свойства эмпирической функции распределения

1.Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0,1].

2.  – неубывающая функция.

3.Если   – наименьшая варианта, то  =0 при  , 4.Если   – наибольшая варианта, то  =1 при  .

Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

де: n_x – число вариант меньших х, n – объём выборки.

Принципиальное отличие эмпирической функции распределения   от обычной функции распределения состоит в том, что она может изменяться от выборки к выборке, являясь при любом фиксированном х реализацией случайной функции

 ,

где   - копии случайной величины   

I - случайная функция переменной x , I(Xi < x) = (1, если Xi < x,0 иначе) называется индикатором события {Xi < x}

При каждом x этот индикатор является случайной величиной из распределения Бернулли с параметром p = P(Xi < x) = F(x)

Важнейшим свойством эмпирической функции распределения   , как случайной функции, является то, что она для любого   при увеличении объема выборки   сближается (в смысле сходимости по вероятности) с теоретической функцией распределения   

3. Задачи статистического анализа.

задачи точечной оценки параметра θ, построения

доверительных интервалов для него, проверки гипотез относительно него. 

1. Задача определения закона распределения случайной величины (или системы случайных величин) по статистическим данным

 

Мы уже указывали, что закономерности, наблюдаемые в массовых случайных явлениях, проявляются тем точнее и отчетливее, чем больше объем статистического материала. При обработке обширных по своему объему статистических данных часто возникает вопрос об определении законов распределения тех или иных случайных величин. Теоретически при достаточном количестве опытов свойственные этим случайным величинам закономерности будут осуществляться сколь угодно точно. На практике нам всегда приходится иметь дело с ограниченным количеством экспериментальных данных; в связи с этим результаты наших наблюдений и их обработки всегда содержат больший или меньший элемент случайности. Возникает вопрос о том, какие черты наблюдаемого явления относятся к постоянным, устойчивым и действительно присущи ему, а какие являются случайными и проявляются в данной серии наблюдений только за счет ограниченного объема экспериментальных данных. Естественно, к методике обработки экспериментальных данных следует предъявить такие требования, чтобы она, по возможности, сохраняла типичные, характерные черты наблюдаемого явления и отбрасывала все несущественное, второстепенное, связанное с недостаточным объемом опытного материала. В связи с этим возникает характерная для математической статистики задача сглаживания или выравнивания статистических данных, представления их в наиболее компактном виде с помощью простых аналитических зависимостей.