x+3 0,

2 - х 0,

-х 0,

2х + 6-х² -3х= х²

-3 х 0,

2х² + х – 6 = 0,

отже х = -2.

.

х = 1,5,

х = -2,

-3 х 0,

6

2. Розв'язування систем рівнянь

Метод підстановки

15. х-3у = 10,

х² - 24у = 100.

вчареаоеап

Відповідь. -2.

Розв'язання:

Із першого рівняння знаходимо х = 3у + 10. Підставимо вираз 3у+10 замість х у друге рівняння системи, тоді:

(Зу +10)² – 24у = 100;

9у² + 36у = 0,

у(у + 4) = 0.

Звідки у₁ =0; у₂ = -4.

Відповідні значення х знайдемо із рівняння х = 3у +10. Якщо у = 0, то х =10. Якщо у = -4, то х = -2.

Відповідь. (10; 0), (-2; -4).

Метод додавання

1 6. 2х + 3у = 7,

3х-у = 16.

Розв'язання:

Помножимо обидві частини другого рівняння системи на 3:

2х + 3у = 7,

(9х -3у) = 48.

Додамо обидва рівняння одержаної системи:

2х + 3у = 7,

(9х - 3у) + (2х + 3у) = 48 + 7.

З відки 2х + 3у = 7,

11х = 55.

Одержали: 11х = 55, х = 5.

2·5 + 3у = 7, 3у = -3, у = -1.

Відповідь. (5; -1).

Метод введення нових змінних

1 7. (х + у)² - 2(х + у) = 15,

ху = 6.

Розв'язання:

Нехай х + у = z, тоді перше рівняння системи матиме вигляд:

z² – 2z = 15, звідки знаходимо z₁ = 5, z₂ = -3.

Отже, перше рівняння системи рівносильне сукупності двох рів­нянь:

х + у = 5, х + у = -3.

Відповідно дана система рівносильна сукупності двох систем:

х + у = 5, х + у = -3,

х + у = -3. ху = 6.

Розв'язавши їх методом підстановки, ми одержимо, що розв'яз­ком першої системи є пари чисел: (2; 3) і (3; 2), а друга система не має розв'язків.

Відповідь. (2; 3), (3; 2).

Графічний спосіб

1 8. 2х - у = 1,

4х + 3у = 12.

Розв'язання:

Із рівняння 2х - у = 1 знаходимо у = 2х - 1;

з рівняння 4х + 3у=12 знаходимо у = х + 4.

Побудуємо в одній системі координат прямі у = 2х – 1 і у =

Вони перетинаються в точці А( 1,5; 2). Отже, система має єдиний розв'язок (1,5; 2).

Відповідь. (1,5; 2).

1 9. 2х -у = 1,

4х – 2у = 5.

Розв'язання:

З рівняння 2х - у = 1 знаходимо у = 2х - 1; з рівняння 4х – 2у = 5 знаходимо у = 2х - 2,5.

Прямі у = 2х -1 і у = 2х - 2,5 паралельні, отже система не має розв'язків.

Відповідь. Рівняння розв'язків не має.

2 0. 2х - у = 1,

6х -3у = 3.

Розв'язання:

З рівняння 2х-у = 1 знаходимо у = 2х - 1 , з рівняння 6х-3у=3 знаходимо у = 2х-1. Отже, графіком кожного з рівнянь системи буде одна і та ж сама пряма у =2х-1, тобто прямі співпадають. Координати будь-якої точки прямої будуть розв'язком системи. Отже, дана система має нескінченну кількість розв'язків.

Відповідь. Розв'язків безліч.

Система рівнянь другого степеня

2 1. х² - у² =5,

ху = 6.

Розв'язання:

Оскільки х ≠ 0, визначимо з другого рівняння змінну у через х і підставимо в перше рівняння: у = , х² - = 5, х² - - 5 = 0, = 0, х⁴ - 5х² - 36 = 0.

х² ≠ 0.

Нехай х² = t, тоді t² - 5t - 36 = 0, t₁= - 4, t₂ = 9.

Одержали х² = 9, або х² = -4;

х₁ = 3, х₂ = -3 розв'язків немає

Знаходимо у: у₁ = = 2, у₂ = = -2.

Відповідь. (3;2), (-3;-2).

22. (х + 6)(х + 1)(х - 4) < 0.

Розв 'язання:

Прирівняємо ліву частину нерівності до нуля і знайдемо розв'язки одержаного рівняння:

(х + 6) (х + 1)(х - 4) = 0, звідси х₁= -6, х₂= -1, х₃=4.

Позначимо на координатній прямій нулі функції.

f(х) = (х + 6)(х + 1)(х - 4) і знайдемо знаки цієї функції в кожному з проміжків.

Отже, розв'язком даної нерівності є проміжки ( ;- 6) і (-1; 4).

Відповідь. х ( ; -6) (-1; 4).