20. Невласні інтеграли і-го роду: означення, дослідження збіжності інтегралу

Означення: невласним інтегралом 1-го роду називають при => .

Дослідити на збіжність:

=

21. Невласні інтеграли ІІ-го роду: означення, збіжність інтегралу .

Означення: невласним інтегралом 2-го роду від функції f(x) називають

• якщо ця границя існує і скінченна, то інтеграл збіжний.

• якщо границя не існує ( або нескінченна , то інтеграл розбіжний.

• якщоf(x) визначена на [a;b) і інтегрованана [a;

• якщо точка нескінченного розриву функції f(x) є точкаC

Дослідити на збіжність:

22.Площа криволінійного сектора. Полярна система координат, її зв’язок з декартовими координатами.

Полярна система координат являє напрямну вісь і точку на ній – полюс.

М

Полюс

Полярна вісь

Положення точки визначається 2 числами:

1. – полярний радіус( відстань від точки до полюса).

2. кут нахилу полярного радіуса т. М до полярної осі, що обчислюється від полярної осі до радіуса( додатній напрямок).

• – коло з центром в полюсі.

• – промені нахилені до полярної осі під кутом .

0

0

• якщо сумістити полярну вісь ОХ, так щоб полюс співпав з початком координат, то :

у

М(х;у)

у

х

Криволінійний сектор.

23. Об’єм тіла обертання

24. Довжина дуги кривої. Обчислення площ

• У  L =  .

• Якщо крива задана у   як  , то її довжина дорівнює  .

• У полярних кординатах для плоскої кривої:

25. Гіперболічні функції: означення, графіки та властивості

sh (x), ch (x), th (x), cth (x)

Гіперболі́чні фу́нкції — сімейство елементарних функцій, які виражаються через експоненту і тісно пов'язанні з тригонометричними функціями.

Гіперболічні функції задаються такими формулами:

• гіперболічний синус:

 (в іноземній літературі позначається  )

• гіперболічний косинус:

 (в іноземній літературі позначається  )

• гіперболічний тангенс:

 (в іноземній літературі позначається  ).

• гіперболічний котангенс:

,

26. Наближене значення визначених інтегралів, обчислення похибок.

Формули наближеного інтегрування базуються на тлумаченні визначеного інтеграла як площі криволінійної трапеції та наближеним його представленням інте­гральною сумою:

Ідея такого методу геометричне базується на тому, що графік f(x) заміняється близькою до цього графіка лінією. В одному випад­ку (при виводі формули прямокутників) графік f(x) заміняється сту­пінчастою ламаною (рис. 63). В іншому випадку (при виводі форму­ли трапецій) графік f(x) заміняється ламаною, вписаною в цей графік (рис. 64).

1.Визначений інтеграл можна обчислювати за формулою

яку називають формулою прямокутників.

Чим більше буде n, тим меншим буде крок і права частина записаного наближення буде давати більш точне значення інтеграла.

2. Розіб'ємо проміжок [а, Ь] і впишемо в криву АВ ламану (рис. 64). Внаслідок такої побудови дістанемо n трапецій, сума площ яких наближено дає значення інте­грала

вираз називають формулою трапецій.

3. Якщо відрізок інтегрування [а, Ь] поділити на парну кількість рівних частин (тобто 2n) і позначити yk=f(xk), де  — точки поділу, k = 0, 1, 2, . , 2n, тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою

яку називають формулою Сімпсона.

На прикладі формули трапеції розглянемо питання про оцінку похибки від її застосування.

Позначимо через а, вираз, який стоїть у правій частині формулитрапеції. Тоді

— абсолютна похибка від застосування формули трапеції.

Позначимо через М максимальне значення модуля другої похідної f n(x) над інтегральної функції у = f(х) на

Зауважимо, що всі три формули тим точніші, чим більше n, і їх абсолютна похибка при  прямує до нуля відповідно до озна­чення поняття визначеного інтеграла.