Контрольные вопросы
В чем заключается этап отделения корней при применении численных методов решения уравнений?
Какие свойства функции используются при нахождении промежутков изоляции корня?
Какие общие соображения можно использовать для оценки приближенных значений корня?
Какие цели преследуются при применении метода половинного деления?
Каковы достаточные условия сходимости метода хорд? Какой конец отрезка изоляции корня остается неподвижным в методе хорд?
Каковы достаточные условия сходимости метода Ньютона? Как выбирается начальное приближение?
В чем смысл комбинированного метода?
Какие условия являются критериями достижения заданной точности при решении уравнения методами хорд и Ньютона?
Задание №1. Отделить корни заданного уравнения.
Задание №2.
Для вычисления выбранного корня с
точностью до
применить метод половинного деления.
Задание №3. Для вычисления выбранного корня с точностью до применить метод хорд.
Задание №4. Для вычисления выбранного корня с точностью до применить метод Ньютона.
Задание №5. Для вычисления выбранного корня с точностью до применить комбинированный метод.
Варианты заданий 1-5 приводятся в таблице 1.
Указания к выполнению заданий
Задание №1. Следует установить число p корней заданного уравнения и область (, ) их расположения. Это можно осуществить графически, записав уравнение в виде
f1 (x) = f2 (x)
с простыми функциями f1 и f2 и схематично построив их графики. Количество точек пересечения графиков даст число p, а интервал, который содержит
Таблица 1
Вари- анты |
Уравнение |
Вари- анты |
Уравнение |
1 |
2x4_2x-3=0 |
16 |
sin x-0.2x=0 |
2 |
(0,2x)3=cos x |
17 |
x4 -x-1=0 |
3 |
x3+3x2-1,3=0 |
18 |
cos x -0.1 x2=0 |
4 |
x-10 sin x=0 , x<π |
19 |
x3-1,3x2+0,3x-0,4=0 |
5 |
x3-1,3x2-9x+12=0 |
20 |
lg (x+3)-1.02sin x=0 ,x>-2 |
6 |
2x -2cos x-1=0 , x>-π |
21 |
x4 =x+1,5 |
7 |
4x4_6,2=0,6x |
22 |
25cos x+4x=0 ,x>- π/2 |
8 |
lg (x+3)=cos x , x<π |
23 |
x3+3,1x2-1,3=0 |
9 |
0,3x-x(x-1)2=0,2 |
24 |
sin 2x=3-4 x2 |
10 |
|
25 |
4x4_6=0,6x |
11 |
x2(2-x2)=0,3 |
26 |
|
12 |
x sin x-1=0 , 0< x<π |
27 |
2x3+5x2-2,9=0 |
13 |
9,1x4=(3x-1)3+1,5 |
28 |
0,1x3-0,8x2-1,5=0 |
14 |
8cos x-x=6 ,x>-3 |
29 |
x2=0,6-0,4x3 |
15 |
(3-0,5x2)(x+2,5)=2 |
30 |
x2 (x2+4)=3 |
абсциссы всех этих точек, – область (, ). Взять в (, ) систему точек {k} так, чтобы таблица
-
x
1
2
…
n
знак f (x)
имела p перемен знака.
Задания №№3-5. Для вычисления итераций следует составить таблицу. Например, в случае метода хорд таблица имеет вид:
n |
xn |
f(xn) |
f( 0) - (2) |
0 – (1) |
(2):(3)(4) |
(1)-(5) |
|xn+1-xn| = |(5)| |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|