2.Обернена матриця

2.1Основні поняття

Як відомо, для кожного числа а≠0 існує обернене число, тобто таке число а^-1, що а∙а^-1 = а^-1∙а = 1.

Оскільки в множині квадратних матриць n-го порядку роль одини­ці відіграє одинична матриця Е, то природно, за аналогією, прийняти таке означення: матриця А називається оберненою для квадратної матриці А, якщо АА^-1=А^-1А=Е. Легко зрозуміти, що не для кожної квадратної матриці існує обернена матриця. Питання про існування для даної матриці А оберненої матриці виявляється складним. Зважаючи на некомутативність множення матриць ми говоритимемо зараз про праву обернену матрицю, тобто про таку матрицю А^-1, що добуток матриці А справа на цю матрицю дає одиничну матрицю

AA^-1 = E (1)

Якщо матриця А вироджена, то, якби матриця А^-1 існувала, то добуток, що стоїть в лівій частині рівності (1), був би виродженою матрицею, тоді як насправді матриця E , яка стоїть в правій частині цієї рівності, є невиродженою, оскільки її визначник рівний одиниці. Таким чином, вироджена матриця не може мати правої оберненої матриці. Такі ж міркування показують, що вона не має і ліву обернену матрицю і тому для виродженої матриці обернена матриця взагалі не існує.

Отже, з'ясуємо, які умови має задовольняти матриця А, щоб для неї існувала обернена матриця. Нехай

— довільно вибрана матриця n-го порядку. Матриця

в якій елементами i-го рядка (i=1, 2, ..., п) є алгебраїчні доповнення елементів і-го стовпця матриці А, називається взаємною матрицею для матриці А.

Теорема 1. Визначник det ) дорівнює сумі добутків всіх елементів будь-якого його рядка або стовпця на їх алгебраїчні доповнення.

Теорема 2. Сума добутків всіх елементів деякого рядка (стовпця) визначника det A на алгебраїчне доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

Беручи до уваги теореми 1, 2 та позначивши через det A визначник матриці A, обчислимо добутки і . Дістанемо

(2)

Матриця А=(a_іk) називається невиродженою (або неособливою), якщо її визначник відмінний від нуля. Вона називається виродженою (особливою), якщо її визначник дорівнює нулю. Із співвідношень (2) випливає, що якщо матриця А невироджена, то взаємна їй матри­ця також буде невиродженою, причому det дорівнює (n-1)-му степеневі det A.

Переходячи від рівностей (1) до рівності визначників, дістанемо , звідки, оскільки , .

2.2Способи знаходження обернених матриць

Теорема 3. Для того щоб існувала матриця, обернена до матриці А, необхідно й достатньо, щоб матриця А була невиродженою.

Необхідність. Припустимо, що для матриці А існує обернена матриця А^-1. Тоді А?=Е. Звідси, за теоремою про множення визначників , тобто . Тому , і, отже, матриця А — невироджена.

Достатність. Нехай матриця А — невироджена. Тоді, як випли­ває з рівностей (2), матриця

є оберненою до матриці А.

Матрицю, обернену до матриці А, позначають символом А^-1. Доведемо, що для будь-якої невиродженої матриці А існує тільки одна обернена матриця А^-1. Справді, якщо матриця С така, що АС = СА = Е, то

САА^-1 = (СA)А^-1 = ЕА^-1= А^-1,

САА^-1 = С(AА^-1) = CЕ= C,

і отже, С=А^-1. Таким чином, для кожної невиродженої матриці A=(a_ik) існує, і притому тільки одна, обернена матриця

(3)

Співвідношення (3) називають формулою оберненої матриці. Якщо матриця А невироджена, то обернена до неї матриця А^-1 також невироджена. Справді, з рівності АА^-1=Е і теореми про множення визначників випливає, що ; тому матриця А^-1 також невироджена. Оберненою до матриці А^-1, очевидно, є матриця А.