33. Определение проверки гипотез как процедуры.

34. Задачи статистической проверки гипотез.

35. Определение и примеры статистической гипотезы.

36. Понятия параметрических и непараметрических гипотез.

37. Определения нулевой и альтернативной гипотез.

38. Определения простой и сложной гипотез.

39. Понятия статистического критерия проверки гипотез, статистики критерия.

40. Основной принцип проверки гипотез.

41. Определения ошибок первого и второго рода.

42. Понятия уровня значимости критерия, мощности критерия, их числовые значения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Вероятность допустить ошибку 1-го рода называется уровнем значимости критерия и обозначается через (альфа).

Вероятность ошибки 2-го рода обозначается через (бета). Тогда Р(отвергнуть Н₀/Н₀ верна) или Р(Н₁/Н₀)

Р(принять Н₀/Н₀ неверна) или Р(Н₀ /Н₁)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Величина (1- ) , то есть вероятность недопущения ошибки 2-го рода называется мощностью критерия. Следовательно, мощность- это вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда она ложна;

1-Р(принять Н₁/Н₁ верна)

чем больше мощность критерия, тем вероятность ошибки 2-го рода меньше, что, конечно, желательно.

Естественным является желание выбрать  как можно меньше, но тогда вероятность ошибки второго рода  может оказатся слишком большой. Разумное соотношение между  и  находят, исходя из тяжести последствий каждой из ошибок.

43. Определения несмещенной, состоятельной, эффективной оценок.

44. Методика проверки гипотез.

45. Определение критерия согласия.

46. Виды критериев согласия.

47. Критерий Стьюдента. Определение, предназначение, границы применимости, формула расчета t –критического.

• Критерий Стьюдента может быть использован для проверки гипотезы о различии средних только для двух групп.

• Критерий Стьюдента применяется в случае малых выборок, что характерно для медико- биологических экспериментов.

• Если схема эксперимента предполагает большее число групп, воспользуйтесь дисперсионным анализом.

• Если критерий Стьюдента был использован для проверки различий между несколькими группами, то истинный уровень значимости можно получить, умножив уровень значимости, на число возможных сравнений.

48. Критерий согласия χ²(хи- квадрат) Пирсона. Определение, предназначение, границы применимости, формула. Слайд шоу качественные признаки

49. Критерий согласия Колмогорова-Смирнова. Определение, предназначение, границы применимости, формула.

50. Понятия критической области, области принятия гипотезы, критической точки критерия.

Основной принцип проверки гипотез состоит в следующем:

множество возможных значений статистики критерия T_n разбивается на два непересекающихся подмножества: критическую область S, т.е. область отклонения гипотезы Н₀ и область принятия этой гипотезы. Если фактически наблюдаемое значение статистики критерия (т.е. значение критерия, вычисленное по выборке T_набл=T(X₁,X₂,…,X_n )) попадает в критическую область S, то основная гипотеза Н₀ отклоняется и принимается альтернативная гипотеза Н₁, если же Т_набл попадает в , то принимается Н₀, а Н₁ отклоняется.

Решение об отклонении и принятии статистической гипотезы принимается по выброчным данным. Поэтому приходится считаться и с возможностью ошибочного решения.

51. Определения фактора, уровня фактора, отклика.

52. Понятие дисперсионного анализа, его виды, область применения.

53. Определения и формулы расчета факторной, остаточной и общей сумм квадратов.

54. Определения и формулы расчета факторной, остаточной и общей дисперсий.

55. Понятия межгрупповой и внутригрупповой дисперсий.

56. Методика проведения дисперсионного анализа.

57. Методика проверки гипотез.

58. Определение критерия согласия.

59. Виды критериев согласия.

60. Критерий Стьюдента. Определение, предназначение, границы применимости, формула расчета t –критического.

• Критерий Стьюдента может быть использован для проверки гипотезы о различии средних только для двух групп.

• Критерий Стьюдента применяется в случае малых выборок, что характерно для медико- биологических экспериментов.

• Если схема эксперимента предполагает большее число групп, воспользуйтесь дисперсионным анализом.

• Если критерий Стьюдента был использован для проверки различий между несколькими группами, то истинный уровень значимости можно получить, умножив уровень значимости, на число возможных сравнений.

61. Критерий согласия χ²(хи- квадрат) Пирсона. Определение, предназначение, границы применимости, формула. слайд

62. Критерий согласия Колмогорова-Смирнова.Определение, предназначение, границы применимости, формула.

63. Понятия критической области, области принятия гипотезы, критической точки критерия.

Основной принцип проверки гипотез состоит в следующем:

множество возможных значений статистики критерия T_n разбивается на два непересекающихся подмножества: критическую область S, т.е. область отклонения гипотезы Н₀ и область принятия этой гипотезы. Если фактически наблюдаемое значение статистики критерия (т.е. значение критерия, вычисленное по выборке T_набл=T(X₁,X₂,…,X_n )) попадает в критическую область S, то основная гипотеза Н₀ отклоняется и принимается альтернативная гипотеза Н₁, если же Т_набл попадает в , то принимается Н₀, а Н₁ отклоняется.

Решение об отклонении и принятии статистической гипотезы принимается по выброчным данным. Поэтому приходится считаться и с возможностью ошибочного решения.

64. Определения фактора, уровня фактора, отклика.

65. Понятие дисперсионного анализа, его виды, область применения.

66. Определения и формулы расчета факторной, остаточной и общей сумм квадратов.

67. Определения и формулы расчета факторной, остаточной и общей дисперсий.

68. Понятия межгрупповой и внутригрупповой дисперсий.

69. Методика проведения дисперсионного анализа.

70. Понятия цензурированных и полных данных.

Наблюдения, которые содержат неполную информацию, называются ерцензурированными наблюдениями (например, "пациент A был жив, по крайней мере, 4 месяца до того, как был п еведен в другую клинику и контакт с ним был потерян"). Использование в том числе и цензурированных наблюдений составляет специфику рассматриваемых здесь методов (термин цензурирование был впервые использован в 1949г).

71. Определение времени жизни в статистике.

: Время жизни – это время до появления некоторого заранее определенного события. Например, таким событием может быть развитие заболевания, реакция на лечение, рецидив (повторение) или смерть.

Т.о. временем жизни может быть время до начала развития заболевания, время от начала лечения до реакции на него, время ремиссии (от начала улучшения здоровья до рецидива), время до смерти.

72. Требования к исследованию выживаемости.

Требования, которым должны удовлетворять все исследования выживаемости:

1. Для всех исследуемых известно время начала наблюдения.

2. Для всех исследуемых известно время окончания наблюдения, а также - наступило

событие или исследуемый выбыл.

3. Выбор наблюдаемых произведен случайно.

73. Определение метода анализа выживаемости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Методы Анализа выживаемости – это методы, применяемые к цензурированным или, как иногда говорят, неполным данным.

Отметим также, что в этих методах используется так называемая функция выживания.

74. Определение и свойства функции выживания.

Функция выживания - это вероятность того, что объект проживет время больше t с момента начала наблюдения S(t) = P(T>t).

Как правило, вместо этой формулы используют другую S(t) = 1 - P(T<t),

где P(T<t) - это вероятность наступления события (гибели) до времени t.

75. Понятие кривой выживаемости и ее особенности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: График функции S(t) называется кривой выживаемости.

Крутой график свидетельствует о низкой выживаемости, поло­гий- о высокой.

Если исследование полное, т.е. нет цензурированных данных, то функция выживаемости оценивается отношением:

В тех случаях, когда есть цензурированные данные, числи­тель не всегда может быть определен, и эта формула дает оши­бочный результат.

В таких случаях применяют моментный метод Каплана-Мейера

где d_t - число событий (умерших) в момент t, n_t - число на­блюдавшихся в момент t. П (большая греческая «пи») — символ произведения.

Наиболее полная характеристика выживаемости – это кривая выживаемости. Обобщенным же показателем является медиана выживаемости.

76. Определение медианы выживаемости.

: медиана выживаемости – это наименьшее время, для которого выживаемость меньше 0,5. Однако если число умерших меньше половины числа наблюдаемых, медиану определить нельзя.

77. Описательные методы исследования цензурированных данных.

Описательными методами исследования цензурированных данных –являются построение таблиц времен жизни, подгонка распределения выживаемости, оценивание функции выживания с помощью процедуры Каплана-Мейера. Некоторые из предложенных методов позволяют сравнивать выживаемость в двух и более группах.

78. Способы составления таблиц времени жизни, особенности их применения.

Анализ таблиц времен жизни

Наиболее естественным способом описания выживаемости в выборке является построение Таблиц времен жизни.

Техника таблиц времен жизни - один из старейших методов анализа данных о выживаемости (времен отказов). Такую таблицу можно рассматривать как "расширенную" таблицу частот. Область возможных времен наступления критических событий (смертей, отказов и др.) разбивается на некоторое число интервалов. Для каждого интервала вычисляется число и долю объектов, которые в начале рассматриваемого интервала были "живы", число и долю объектов, которые "умерли" в данном интервале, а также число и долю объектов, которые были изъяты или цензурированы в каждом интервале.

Рассмотрим два способа составления таблицы времени жизни: первый – способ Катлера –Эдерера более применим для больших наборов данных, второй – способ Каплана – Мейера для малого числа обследуемых.

Способ Катлера - Эдерера

Интервалы времени	Количество наблюдаемых объектов к началу интервала	Количество событий произошедших в данном интервале времени	Количество выбываний, произошедших в данном интервале времени	Доля наступления события в интервале	Доля выживших в интервале	Комулятивная доля выживших
i	ni	di	wi	qi	pi=1-qi	Si=pipi-1…p1

На основании этих величин вычисляются некоторые дополнительные статистики:

• Число изучаемых объектов

• Доля умерших

• Доля выживших

• Кумулятивная доля выживших (функция выживания)

• Плотность вероятности

• Функция интенсивности

• Медиана ожидаемого времени жизни

• Объем выборки

Способ Каплана - Мейера

Момент времени	Количество наблюдаемых объектов к моменту времени	Количество событий произошедших в данный момент времени	Количество выбываний, произошедших в данный момент времени	Доля наступления событияе	Доля выживших	Комулятивная доля выживших
i	ni	di	wi	qi	pi=1-qi	Si=pipi-1…p1

В этом способе первый столбец не разбивается на интервалы, а в нем записываются моменты, в которые произошло хотя бы одно событие.

, , где d_i - число умерших в момент времени i, n_i - число наблюдавшихся к моменту i.

79. Определения и формулы понятий числа изучаемых объектов, доли исследуемых, доли выживших, кумулятивной доли выживших.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Число изучаемых объектов -это число объектов, которые были "живы" в начале рассматриваемого временного интервала.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Доля исследуемых, для которых событие наступило в i-ом интервале - это отношение числа объектов, для которых событие наступило в i-ом интервале, к числу объектов, изучаемых на этом интервале:

, где w_i-количество выбываний, произошедших в данном интервале.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Доля выживших, т.е. тех, для которых событие не наступило в i-ом интервале - эта доля равна единице минус доля исследуемых, для которых событие наступило в i-ом интервале: .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Кумулятивная доля выживших (функция выживания) - это кумулятивная доля выживших к началу соответствующего временного интервала. Поскольку вероятности выживания считаются независимыми на разных интервалах, эта доля равна произведению долей выживших объектов по всем предыдущим интервалам. Полученная доля как функция от времени называется также выживаемостью или функцией выживания [точнее, это оценка функции выживания].

80. Понятие и формула стандартной ошибки выживаемости.

Оценку точности приближения дает стандартная ошибка выживаемости; ее можно рассчитать по формуле Гринвуда

, где сумма берется по всем интервалам (моментам).

81. Формулы вычисления доверительных границ для функции выживаемости.

Доверительные границы для функции выживаемости:

Обычно определяют 95%-ный доверительный интервал. Тогда α=1-0,95=0,05. Соответствующее значение z_α=1.96.

Отложив на графике доверительные границы мы увидим «рукав» - доверительную область для выживаемости.

Причина расширения доверительной области – чем меньше остается наблюдаемых, тем больше ошибка.

82. Определения статистической, корреляционной зависимостей.

Корреляционный анализ предназначен для исследования в генеральной совокупности взаимозависимости признаков, являющихся случайными величинами (измерение степени связи между двумя переменными х и у).

Корреляционный анализ позволяет получить аналитическое представление зависимости между признаками (т.е. корреляционную модель), оценить и осуществить проверку значимости параметров этой зависимости.

В дальнейшем зависимость между тремя и более факторами будем называть множественной, или многофакторной корреляционной зависимостью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Зависимость случайных величин называют стохастической, если на изменение одной из них влияет не только изменение второй величины, но и другие факторы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Зависимость случайных величин называют статистической, если изменения одной из них приводит к изменению закона распределения другой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если изменение одной из случайных величин влечет изменение среднего другой случайной величины, то статистическую зависимость называют корреляционной.

Примерами корреляционной зависимости являются связи между:

- массой тела и ростом;

• дозой ионизирующего излучения и числом мутаций;

• пигментом волос человека и цветом глаз;

• показателями уровня жизни населения и процентом смертности;

• количеством пропущенных студентами лекций и оценкой на экзамене и т.д.

83. Уравнение, описывающее корреляционную зависимость.

Корреляционную зависимость от можно описать с помощью уравнения вида

(1)

г де условное среднее величины , соответствующее значению величины , а некоторая функция. Уравнение (1) называется выборочным уравнением регрессии на .

Для оценки тесноты линейных корреляционных зависимостей между величинами Х и по результатам выборочных наблюдений вводится понятие выборочного коэффициента линейной корреляции, определяемого формулой

(4)

84. Понятия выборочной регрессии и выборочной линии регрессии.

Корреляционную зависимость от можно описать с помощью уравнения вида

(1)

г де условное среднее величины , соответствующее значению величины , а некоторая функция. Уравнение (1) называется выборочным уравнением регрессии на .

Рис.1. Линейная регрессия значима. Модель .

Функцию называют выборочной регрессией на , а ее график – выборочной линией регрессии на .

Совершенно аналогично выборочным уравнением регрессии на является уравнение .

85. Оценка коэффициента регрессии и свободного члена методом наименьших квадратов.