Размещения, перестановки, сочетания
Пусть
у нас есть множество из трех элементов 
.
Какими способами мы можем выбрать из
этих элементов два? 
.
Определение. Размещениями
множества из 
различных
элементов по 
элементов 
называются
комбинации, которые составлены из
данных
элементов
по
элементов
и отличаются либо самими элементами,
либо порядком элементов.
Число
всех размещений множества из
элементов
по
элементов
обозначается через 
(от
начальной буквы французского слова
“arrangement”, что означает размещение),
где 
и 
.
Теорема. Число размещений множества из элементов по элементов равно
Доказательство. Пусть
у нас есть элементы 
.
Пусть 
—
возможные размещения. Будем строить
эти размещения последовательно. Сначала
определим 
—
первый элемент размещения. Из данной
совокупности
элементов
его можно выбрать
различными
способами. После выбора первого
элемента
для
второго элемента 
остается 
способов
выбора и т.д. Так как каждый такой выбор
дает новое размещение, то все эти выборы
можно свободно комбинировать между
собой. Поэтому имеем:
Пример. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти цветов?
Решение. Искомое число трехполосных флагов:
8Определения вероятности теоремы
Определение, основные формулы Классическое определение вероятности
(m - число благоприятных исходов опыта; n - число всех его исходов)
Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Теорема сложения вероятностей совместных событий
Теорема умножения вероятностей независимых событий
Теорема умножения вероятностей зависимых событий
где 
-
вероятность события B при
условии, что произошло событие A.
Формула полной вероятности
где 
-
полная группа гипотез, т. е.
(
-
достоверное событие).
9Множества и операции над ними
1 Основные понятия теории множеств
Понятие "множество" является первичным и неопределяемым. Множество можно
представить себе как совокупность элементов, обладающих некоторым общим свойством.
Объекты любой природы (числа, люди, вещи и т. д.), составляющие множество, называют его
элементами. Например, студент Иванов является элементом множества студентов IV курса,
март – элементом множества месяцев в году и т.д.
Для того чтобы некоторую совокупность элементов можно было назвать множеством,
необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
- должно существовать правило, позволяющее определить, принадлежит ли указанный
элемент данной совокупности;
- должно существовать правило, позволяющее отличать элементы друг от друга (это
означает, что множество не может содержать двух одинаковых элементов).
Тот факт, что элемент a принадлежит множеству А записывается так:
a A, в
противном случае пишем
a A. Для однозначного описания некоторого множества мы
будем пользоваться следующими способами:
– перечислением всех его элементов. Например, множество A, состоящее из объектов:
a, b, c, d записывают так: A = {a, b, c, d}. Данный способ применим только для конечных
множеств, число элементов которых невелико;
– указанием общего свойства элементов, принадлежащих множеству. В этом случае в
фигурных скобках записывают обозначение произвольного элемента множества, ставят
вертикальную черту, а затем свойство, характеризующее в точности все элементы множества.
Например, множество K натуральных чисел, меньших 5 можно записать: K= {1, 2, 3, 4} или
K={х | х N и х < 5}.
Множества могут быть конечными или бесконечными. Например, множество
работников предприятия – конечно, а множество точек прямой – бесконечно.
Пустым множеством называют единственное множество, не содержащее ни одного
элемента (обозначается символом ). Например, это множество транзисторов, изготовленных
в 1930 году. 2
Множества A и B считают равными, если они состоят из одних и тех же элементов
(записывают A = B). Например, равны следующие множества: А={>, $, @, !} и B={!, >, @, $}.
Множество B называют подмножеством множества A тогда и только тогда, когда
каждый элемент B принадлежит множеству A (записывается: В А). Например, А – множество
студентов вуза, В – подмножество первокурсников этого вуза.
Свойство подмножеств: если В А и А В, то А=В.
Достаточно часто для наглядного изображения множеств и операций над ними
используют так называемые круги Эйлера (диаграммы Венна). На следующем рисунке
показаны множества А и B такие, что В А.
Часто бывает, что рассматриваются только подмножества одного и того же множества.
Такое множество называют универсальным множеством, по предположению содержит все
используемые нами множества (обозначают U и изображают на кругах Эйлера в виде
прямоугольника).
2 Операции над множествами
Основными операциями над множествами являются объединение, пересечение,
разность и дополнение.
Определение 1. Объединением двух множеств называется новое множество, состоящее
из элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств (обозначается: А В ), т.е.
А В = {х | х А или х В}.
На кругах Эйлера объединение множеств А и В изображается в виде заштрихованной
области.
Например, пусть заданы три множества: А = {1, 2, 3, 4}, В = {1, 3, 5}, C = {5, 6}.
Тогда А В = {1, 2, 3, 4, 5}, А С = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Определение 2. Пересечением двух множеств называется новое множество, состоящее
из элементов, принадлежащих одновременно обеим множествам (обозначается: А В), т.е.
А В = {х | х А и х В}.
Например, для заданных множеств А, B и С: А В = {1, 3}, В С = {5}, А С = .
A
B 3
На кругах Эйлера пересечение множеств А и В изображается в виде заштрихованной
области.
Свойства операций объединения и пересечения.
а) Коммутативность: для любых множеств A и B верны равенства:
А В=В А;
А В=В А.
б) Ассоциативность: для любых множеств А, В, С верны равенства:
(А В) С=A (В С);
(A B) С=A (В С).
в) Дистрибутивность: для любых множеств А, B и С справедливы равенства:
A (B C)=(A B) (A C);
A (B C)=(A B) (A C).
В частности, для любого множества A имеем:
A A=A, A A=A;
A =A, A = ;
A U=U, A U=A.
Определение 3. Разностью двух множеств А и B называется новое множество,
элементы которого принадлежат A, но не принадлежат B (обозначают: А \ В), т.е.
А \ В = {х | х А и х В}.
На кругах Эйлера разность множеств А и В изображается в виде заштрихованной
области.
Например, для заданных множеств А, B и С: А \ В = {2, 4}, В \ С = {1, 3}, А \ С = {1, 2, 3,
4} = A.
4
Вопрос: каким операциям соответствует следующая диаграмма?
Ответ: (А \ B) (B \ A), операция называется симметричной разностью множеств.
Причем (А \ B) (B \ A) = (А B) \ (B A). Доказательство этого соотношения, как и любых
других утверждений о равенстве множеств, состоит в том, чтобы предположив
принадлежность некоторого элемента х множеству из левой части равенства, необходимо
доказать, что этот же самый элемент принадлежит множеству, стоящему в правой части
равенства и наоборот.
Задание: доказать равенство (А \ B) (B \ A) = (А B) \ (B A).
Определение 4. Если А – подмножество множества U, то дополнением множества А до
множества U есть множество
A
, состоящее из тех и только тех элементов U, которые не
принадлежат А, т.е.
A = U \ A = {x | х U и х A}.
На кругах Эйлера дополнение изображается в виде заштрихованной области.
Свойства операции дополнения: для любых подмножеств А и B универсального
множества U имеют место следующие равенства:
A B A B, A B A B;
A A U, A A ;
A A.
Задача. За время отпуска 12 дней шел дождь, 8 дней дул сильный ветер, а 4 дня было
холодно. Сколько дней была плохая погода, если:
- дождливых и ветреных дней было 5;
- дождливых и холодных – 3 дня;
- ветреных и холодных – 2 дня;
- дождливых, ветреных и холодных – 1 день. 5
Ответ: 15 дней.
Задача сводится к нахождению числа элементов в объединении нескольких множеств,
зная число элементов в каждом из них, а также число элементов в каждом пересечении этих
множеств.
Определение 5. Количество элементов конечного множества называется его
мощностью. Мощность множества А обозначается как |A|.
Мощность объединения трех множеств А, В и С равна:
|A B C| = |A| + |B| + |C| - |A B| - |A C| - |B C| + |A B C|.
Вопрос: почему перед значением мощности пересечения трех множеств |A B C|
стоит знак "+"?
3 Декартово произведение множеств
Пусть А и В – множества. Выражение вида (а, b), где a A и b B, называется
упорядоченной парой. Равенство вида (a, b) = (c, d) означает, что a = c и b = d. В общем
случае, можно рассматривать упорядоченную n-ку (a1, a2, …, an) из элементов a1 A1, a2 A2,
…, an An. Упорядоченные n-ки иначе называют наборами или кортежами.
Определение 6. Декартовым (прямым) произведением множеств A1, A2, …, An
называется множество упорядоченных n-ок (наборов, кортежей) вида
A1 A2 … An = {(a1, a2, …, an) | ai
Ai
, i 1,n
}.
Определение 7. Степенью декартового произведения A1 A2 … An называется
число множеств n, входящих в это декартово произведение.
Если все множества A1, A2, …, An одинаковы, то используют обозначение
A
n
= A A … A.
Примеры декартовых произведений.
а) Если А = {a, b, c, d, e, f, g, h}, а В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, то A В = {a1, a2, a3, …, h7,
h8} – множество, содержащее обозначения всех 64 клеток шахматной доски.
б) Пусть А – конечное множество, элементами которого являются символы (буквы,
цифры, знаки препинания и т.д.). Такие множества называются алфавитами, а элементы
множества A
n
называются словами длины n в алфавите А. 6
Например, множество A
2
= A A содержит все возможные двухэлементные сочетания
символов (слова из 2-х символов). Множество всех слов в алфавите А – это множество
...
1 2 A A A
i
i N
.
Теорема. Мощность декартового произведения A1 A2 … An равна произведению
мощностей множеств A1, A2, …, An:
|A1 A2 … An| = |A1| |A2| … |An|.
Следствие: |A
n
| = |A|
n
.
4 Отношения
Пусть дано декартово произведение множеств A1 A2 … An.
Определение 8. Подмножество R декартового произведения множеств A1 A2 … An
называется отношением степени n (n-арным отношением) на множествах A1, A2, …, An.
Говорят, что элементы a1, a2, ..., an находятся в отношении R, если (a1, a2, ..., an) R.
Наиболее изучены и часто используются в математике бинарные отношения. Для них,
наряду с записью (a1, a2) R, пишут также a1R a2.
Например, отношение выполняется для пар (7, 9) и (7, 7), но не выполняется для пары
(9, 7). Отношение "иметь общий делитель, отличный от единицы" выполняется для пар (6, 9),
(2, 4), (4, 4), но не выполняется для пар (7, 9) и (7, 7).
Задание: для каких пар выполняются отношения "родиться в одном городе", "быть
моложе", заданные на множестве S
2
, где S – множество студентов Вашей группы?
Определение 9. Степень отношения – это количество элементов в каждом кортеже
отношения.
Определение 10. Мощность отношения – это количество кортежей отношения.
10Формулы площадей плоских фигур
многоугольник, правильный шестиугольник, круг, сектор, сегмент круга. Формула Герона.
Произвольный треугольник. a, b, c – стороны; a – основание; h – высота;
A, B, C – углы, противоположные сторонам a, b, c ; p = ( a + b + c ) / 2.
Последнее выражение называется формулой Герона.
Многоугольник, площадь которого нужно определить, может быть разделён своими диагоналями на несколько треугольников. Многоугольник, описанный около круга ( рис.67 ), может быть разделён прямыми, идущими из центра круга к его вершинам. Тогда получаем:
В частности, эта формула справедлива для любого правильного многоугольника.
Правильный шестиугольник. a – сторона.
Круг. D – диаметр; r – радиус.
Сектор ( рис.68 ). r – радиус; n – величина центрального угла в градусах; l – длина дуги.
Сегмент ( рис.68 ). Площадь сегмента определяется как разность между площадями сектора AmBO и треугольника AOB. Кроме того, естьприближённая формула для площади сегмента:
11Формулы объёма геометрических тел
Объем куба
О
бъем
куба равен
кубу длины его грани.
Формула объема куба
V =
a
3
где
V
- объем куба,
a
- длина грани куба.
Смотрите также онлайн калькулятор для расчета объема куба.
Объем призмы
О
бъем
призмы равен
произведению площади основания призмы,
на высоту.
Формула объема призмы
V =
So h
где
V
- объем призмы,
So
- площадь основания призмы,
h
- высота призмы.
Смотрите также
онлайн калькулятор для расчета объема призмы.
формулы площади геометрических фигур для определения площади основания призмы.
Объем параллелепипеда
О
бъем
параллелепипеда равен
произведению площади основания на
высоту.
Формула объема параллелепипеда
V =
So · h
где
V
- объем параллелепипеда,
So
- площадь основания,
h
- длина высоты.
Смотрите также онлайн калькулятор для расчета объема параллелепипеда.
Объем прямоугольного параллелепипеда
О
бъем
прямоугольного параллелепипеда равен
произведению его длины, ширины и высоты.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда
V =
a · b · h
где
V
- объем прямоугольного параллелепипеда,
a
- длина,
b
- ширина,
h
- высота.
Смотрите также онлайн калькулятор для расчета объема прямоугольного параллелепипеда.
Объем пирамиды
О
бъем
пирамиды равен
трети от произведения площади ее
основания на высоту.
Формула объема пирамиды
V = |
1 |
So · h |
3 |
где
V
- объем пирамиды,
So
- площадь основания пирамиды,
h
- длина высоты пирамиды.
Смотрите также:
онлайн калькулятор для расчета объема пирамиды,
формулы площади геометрических фигур для определения площади основания пирамиды.