8. Перевірка значимості коефіцієнта кореляції в простій регресії.

Для перевірки значущості коефіцієнта кореляції використовується t-критерій.

Нульова гіпотеза: значення коефіцієнту кореляції несуттєво відрізняється від 0.

Розрахункове значення критерію визначається як:

Якщо розрахункове значення цього критерію t не менше за критичне (табличне) t_таб при вибраному рівні довіри σ і ступені свободи n-2, нульова гіпотеза відхиляється і відповідний коефіцієнт кореляції є достовірним.

9. Теорема Гаусса-Маркова про blue-оцінки.

Якщо виконуються всі передумови МНК, то оцінки отримані за МНК є найкращими лінійними незміщеними оцінками невідомих параметрів β₀ і β₁.Їх ще називають BLUE-оцінками.

10. Перевірка регресійної моделі на адекватність за f-критерієм Фішера.

F-критерій перевіряєадекватність моделі. Одностороння критична зона.

Y =β₀+β₁X+Ԑ

Висуває дві гіпотези:

Н₀: β₁=0 – модель неадекватна; Н₁: β₁ ≠0 – модель адекватна.

1. Вибираємо рівень значущості £ (скільки разів дозволяємо собі помилитися)

2. Підраховуємо F_емп=

3. За таблицею розподілу Фішера з рівнем значущості £ і степенем вільності 1 і n-2 знаходимо F_кр (£,1,n-2)

4. Якщо F_емп>F_кр → Н₁ модель адекватна; F_емп<F_кр → Н₀ модель неадекватна.

11. Перевірка значимості параметрів b0, b1 за тестом Стьюдента.

t-критерій перевіряє значимість параметрів моделі. Статистично значимий, тобто такий що впливає на залежність Х та У. Двостороння критична зона.

Висуваємо дві гіпотези.

Н₀: β₁=0 – параметр статистично не значимий; Н₁: β₁ ≠0 – статистично значимий.

1. Обчислюємо t_емп =

2. За таблицями розподілу Стьюдента з рівнем значимості £і ступенем вільності n-2 знаходимо t_кр (£, n-2)

3. Якщо |t_емп|>t_кр → Н₁ статистично значимий; |t_емп|<t_кр → Н₀ статистично не значимий

12. Інтервали довіри для параметрів b0, b1.

Оскільки b₀ і b₁ є лише точковими оцінками невідомих параметрів β₀ і β₁слід знайти інтервальні оцінки цих параметрів Id β_i(b_i - * t_kp; b_i+ * t_kp ) тобто, знайти такий інтервал, який з надійністю ɤ=1-£ буде покривати точне значення пар-ів β_i.

13. Прогнозування в простій регресії.

Є два типи прогнозу: точковий і інтервальний.

Точковий прогноз для прогнозного значення у шукаємо за вибірковою прямою ŷ^*=b₀+b₁x^*

Інтервальний прогноз Id_y*=(ŷ*- t_kp(£,n-2)·δ_u ; ŷ*+t_kp(£,n-2)·δ_u)

14. Множинна регресійна модель та припущення, які лежать в її основі.

Якщо пояснювальна змінна залежить не від одного, а від декількох факторів, то розглядається множинна регресія M(Y/X=x₁,x₂,..x_n) =ƒ(x₁,x₂,..x_n)

Багатофакторна лінійна регресійна модель має вигляд

Припущення:

1. Математичне сподівання похибок = 0 M(Ԑ_i)=0

2)Дисперсія похибок є постійною (гомоскидастичність) D(Ԑ_i)=D(Ԑ_j)=δ²

3) Випадкові відхилення незалежні між собою cov(Ԑ_i,Ԑ_j)=0 (невик. -автокореляція)

4) Модель має бути лінійною відносно параметрів β_і

5)Відсутність мультиколініарностіcov(x_i,x_j)=0

6) Випадкова змінна похибки не впливає на незалежну змінну cov(Ԑ_i,x_i)=0

7)Похибки моделі мають бути розподілені за нормальним законом N(0;δ²)

15. Оцінка параметрів множинної регресії за МНК. Матричний підхід.

Для оцінок параметрів моделі b₀,b₁,b₂,…b_n виконання передумов МНК, означає що ці оцінки є BLUE-оцінками невідомих параметрів

Рівняння генеральної сукупності у матричному вигляді Y=Xβ+Ԑ

Вибіркове рівнянняy=xb+e; регресійне рівнянняŷ=xb

Параметри моделі шукаємо з умови, що ∑e_i²→ min.

B=(X^TX)^-1X^TY

16. В чому суть коефіцієнта детермінації ?

вказує на адекватність моделі в цілому. Знаходиться в межах [0,1]

Чим ближче до 1,тим якісніше побудована модель, чим ближче до 0- тим більш невиправданою є побудована модель. К-т детермінації неможна абсолютизувати, бо кількість незалежних факторів Х впливає на якість моделі.

17. Чим скоригований коефіцієнт детермінації відрізняється від звичайного?

Скоригований к-т детермінації перешкоджає введенню в модель необґрунтованих факторів. Він є меншимі більш точним, ніж звичайний тому, що в ньому враховується обсяг вибірки і кількість незалежних факторів.

18. Дисперсійно-коваріаційна матриця оцінок параметрів моделі.

δ_Ԑ² (Х^ТХ)^-1=Var(B)

по діагоналі йдуть дисперсії,які потрібні для обчислення t_емп.

19. Критерій Фішера для перевірки моделі на достовірність у множинній регресії.

Перевіряєадекватність моделі.

Висуваємо дві гіпотези:

Н₀: β_і=0 – модель неадекватна; Н₁: β_і≠0, і= – модель адекватна.

1. Шукаємо статистику F_емп=

2. За таблицею розподілу Фішера з рівнем значущості £ і степенем вільності m і n-m-1 знаходимо F_кр (£,m,n-m-1)

3. Якщо F_емп>F_кр → Н₁ модель адекватна; F_емп<F_кр → Н₀ модель неадекватна.

20. Значимість параметрів моделі у множинній регресії та інтервали довіри для цих параметрів.

Значимість параметрів моделі перевіряє критерій Стьдента.

Висуваємо дві гіпотези.

Н₀: β_і =0 – параметр статистично не значимий; Н₁: β_і≠0, і= – статистично значимий.

1. За статистикою t_емп =

2. За таблицями розподілу Стьюдента з рівнем значимості £і ступенем вільності n-m-1 знаходимо t_кр (£, n-m-1)

Якщо |t_емп|>t_кр → Н₁ статистично значимий; |t_емп|<t_кр → Н₀ статистично не значимий Інтервали довіри для параметрів моделі Id β_i(b_i - *t_kp; b_i+ *t_kp )