Наиб. Наим. Значение функции

68) А)Линией уровня функции f(x,y)называется линия на плоскости x0y, в точках которой функция сохраняет свое постоянное значение. Линии уровня задаются уравнением f(x,y)=const.

Б)Линия уровня функции f(x,y)=xy имеет вид xy=c. Уравнение линии уровня – уравнение гиперболы.

Получили множество гипербол.

Наибольшее значение на данной области линия уровня принимает в точке (6,6), с=36. Наименьшее значение на данной области линия уровня принимает в точке (3,4), с=12.

69) Св-ва непрерывных функций:

1)Если ф-ция определена и непрерывна на замкнутом, ограниченном множестве {M}точек евклидового пространства E^m, то она ограничена на этом множестве, т.е. существует такое число С>0, что для всех точек множества {M} выполняется неравенство

2)Если функция u=f(M) непрерывна, на замкнутом ограниченном множестве {M}, то она достигает на этом множестве своих точных верхней и нижней граней.

3) Если ф-ция u=f(M) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве {M}, то она принимает все промежуточные значения между своим максимальным и минимальным значениями.

4) Если функция u= f(M) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве {M}, то она равномерно-непрерывна на этом множестве, т.е. для любого числа существует такое число , что для двух любых точек множества {M}, удовлетворяющих условию выполняется неравенство

5) пусть функции f(M) и g(M) – непрерывные функции на замкнутом ограниченном множестве точек {M} евклидового пространства Е^m. Тогда ф-ции также являются непрерывными функциями на множестве {M}.

Вып. Множества и вып. Ф-ции

70) Множество R точек евклидового пространства называется выпуклым, если вместе с его любыми точками все точки отрезка также принадлежат этому множеству. а) x²+y² ≤16

x²+y² ≤9, объединив эти два множества, получим x²+y² ≤25, которое также является выпуклым.

б) x²+y² ≤16

0≤x≤4, 0≤y≤4, объединив эти множества, не сможем получить выпуклого множества.

71) Пусть множества U и V являются выпуклыми, а L является пересечением этих множеств. Значит, L принадлежит U, L принадлежит V. Так как U и V являются выпуклыми, то и их пересечение L также является выпуклым.

(Пример пересечения двух выпуклых множеств)

72) Функция , заданная на выпуклом множестве R, называется выпуклой вниз на этом множестве, если для любых двух точек из R выполняется неравенство

Понятие функции выпуклой вверх при замене знака исходной функции на противоположный.

Если знак неравенства строгий, значит функция назыв. строго выпуклой.

Теор. Сумма любого числа выпуклых (вогнутых) на выпуклом множестве функций также является выпуклой (вогнутой) функцией на Х.

Предположим, что суммируется две функции. f(x) и g(x) тогда запишем два неравенства, где

Пусть h(x)= g(x)+f(x), тогда, сложив два неравенства, получим:

, означающее выпуклость функции h(x)

Первообр. И неопр. Интеграл

73) Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если для любого функция F(x) дифференцируема и выполняется равенство

Первообразная не может иметь точку разрыва по Лемме: Если производная функции f(x) равна нулю на промежутке Х, то эта функция постоянна на промежутке Х.

74) Пусть F(x) – первообразная для функции f(x) на промежутке Х; тогда любая другая первообразная для f(x) на Х может быть представлена в виде F(x)+ C, где С - некоторое число.

Док. Пусть Ф(х) некоторая другая первообразная для f(x) на промежутке Х, т.е. . Тогда

По лемме функция Ф(х) = F(x) + C ч.т.д.

75) 1)Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом

2)

вытекает из того, что если F(x) и G(x) – первообразные соответственно для функций f(x) и g(x), то производная их суммы равна сумме их производных.

76) 1)

Док.

2)Неопр. Интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

3) Постоянный множитель можно вынести из под знака неопределенного интеграла:

4)Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых

77) Пусть u(x) и v(x) – две дифференцируемые функции на промежутке Х. Тогда на Х выполняется формула интегрирования по частям

Док. Имеем формулу для дифференциала произведения функций uv: d(uv)= udv + vdu интегрируя обе части равенства получим слева uv по свойству 2 неопределенного интеграла, а справа сумму интегралов, так что

7 8) Пусть функция определена и дифференцируема на промежутке T и X – множество ее значений, на котором определена функция f(x). Тогда если F(x) – первообразная для f(x) на Х, то - первообразная для на T, т.е. на множестве Т выполняется равенство

Док. По правилу дифференцирования сложной функции производная левой части равенства равна , что совпадает с подынтегральной функцией в правой части равенства (см. выше)