2.2 Получение уравнения диффузии

балансом тепловых нейтронов в реакторе

Получим балансное соотношение(это конечно не вывод ибо фундаментальные законы не выводятся) для объема dV=dx*dy*dz в терминах скоростей реакций.

+скорость генерации –скорость поглощений –скорость утечки +(скорость натечки) (2.7а)

Такой общий вид баланса называют балансом тепловых нейтронов в реакторе.

Скорость генерации будет равна мощности источнике =Q*dV;

Скорость поглощений будет равна = Ф*Σ_аdV;

Скорость утечки в направлении z Y_z

Y_z=dx*dy*( i_z+dz - i_z )=dx*dy*dz(di_z /dz)= - [D(z) dФ/dz] dV

В трехмерном случае производные по dz нужно будет заменить векторным ∇- оператором Y=-∇ [D(r) ∇Ф(r,t)] dV.

Тогда баланс будет выглядеть как:

Q(r,t)+∇ [D(r) ∇Ф(r,t)] –Ф(r,t)*Σ_а (r) (2.7б)

Это нестационарное односкоростное уравнение диффузии в среде (математический вид уравнения) оно же -баланс тепловых нейтронов в реакторе в терминах скоростей реакций.

уравнение диффузии , как видим, это дифференциальное уравнение 2-го порядка.

2.3 Граничные условия

Для того, чтобы получать решения в среде на основе уравнения диффузии в смысле уравнений математической физики необходимы Граничные условия. Граничные условия существуют двух видов: на границе двух сред и на границе с вакуумом.

На границе двух сред «А» и «В»

Если на границе сред нет поглотителя, то для одномерного случая вблизи границы положительные токи и отрицательные должны быть непрерывны. То есть получается система уравнений :

i_A⁺₌ i_B⁺и i_A^-₌ i_B^- . (2.8а)

Если записать их выражения в виде (2.5б), то получится система уравнений

= (2.8б)

=

Если сложить и вычесть уравнения получим эквивалентный вид этих условий

Ф_А = Ф_В (2.8в)

=

Или

Ф_А = Ф_В (2.8г)

J_A= J_B

То есть на границе должны быть непрерывны функции потока и тока.

На границе с вакуумом.

Строго говоря, для границы с вакуумом мы должны написать условие, что отрицательный ток из вакуума равен нулю:

(2.9а)

Это приводит нас к условию третьего рода на логарифмическую производную:

(2.9б).

Работать с таким условием крайне неприятно. Поэтому предположим, что поток на границе ведет себя так, как показано на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Геометрия для оценки длины экстраполяции в теории диффузии.

Считаем, что источники далеко, следовательно лапласиан потока ΔФ(х)=0, следовательно градиент потока –константа ∇Ф(х) =const, то есть поток на границе функция линейная (как на рисунке). Тогда, проэкстраполировав его, найдем место, где он станет равным нулю. Обозначим эту координату d_э и назовем ее «длиной экстраполяции», а координату R_э =R+d_э. –экстраполированной границей реактора. Очевидно, что поток в точке R_э =R+d_э будет равен нулю: Ф (R_э)=0.

Тогда получается, что мы «разменяли» граничное условие 3-го рода на логарифмической производной на условие 1-го рода на функцию!

Из условия тангенса угла тета можно получить и оценку длины экстраполяции? Для плоской границы она примерно равна d_э = 0,7*Λ_tr , для тел другой кривизны коэффициент будет меняться от 0.5 до 0.75.