8. Аффинные преобразования на плоскости

    В компьютерной графике все, что относится к двумерному случаю, принято обозначать символом (2D) (2-Dimension , т.е. 2-Размерный).     Допустим, что на плоскости введена прямолинейная координатная система. Тогда каждой точке М ставится в соответствие упорядоченная пара чисел (х, у) ее координат.

Рис. 8.1. Пример представления точки на плоскости

Вводя на плоскости еще одну прямолинейную систему координат, мы ставим в соответствие той же точке М другую пару чисел – (x',у').

Переход от одной прямолинейной координатной системы на плоскости к другой описывается следующими соотношениями:

    

    где α, β, λ, γ, δ, μ – произвольные числа.

    Числа α, β, γ, δ - связаны неравенством:

   

8.1. Вращение (поворот)

    Поворот вокруг начальной точки на угол φ описывается формулами:

   

 

Рис. 8.1.1. Пример поворота OM на угол φ относительно центра координат

Пример 8.1.1: Вывод уравнений поворота точки на угол φ Составим в соответствии с рис.3.1.1 систему уравнений: Где первое уравнение получаем из рассмотрения треугольника AOM, второе из A'OM', а третье по теореме Пифагора из рассмотрения обоих треугольников, исходя из того, что OM'=OM, как OM повернутый на угол φ. возведем все уравнения системы в квадрат преобразуем тригонометрические выражения 1) Вывод уравнения для y': Преобразуем 2-ое уравнение системы к виду: x'2 определим из 3-его уравнения системы и подставим его в предыдущее уравнение: все элементы, содержащие y'2 перенесем в левую часть: вынесем y'2 за скобку, осуществим преобразование основного тригонометрического тождества, получившегося  в скобках, и извлечем корень из обоих частей полученного уравнения: в соответствии с формулой синуса суммы, преобразуем получившееся уравнение: выделим x2 и y2 из первого уравнения преобразованной системы и подставим полученные выражения в предыдущее уравнение: 2) Выведем уравнение x': Данное уравнение, выводится по аналогии с предыдущим уравнением:

Рис. 8.1.2. Изменение системы координат

    В дальнейшем мы будем рассматривать формулы, как правила, согласно которым в заданной системе прямолинейных координат преобразуются точки плоскости.

    В аффинных преобразованиях на плоскости особую роль играют несколько важных частных случаев, имеющих хорошо прослеживаемые геометрические характеристики. При исследовании геометрического смысла числовых коэффициентов в формулах для этих случаев нам удобно считать, что заданная система координат является прямоугольной декартовой.

Рис. 8.1.3. Поворот точки относительно центра координат