32) Временное уравнение Шреденгира. Стандартные условия. Стационарное уравнение Шреденгера.

Временное уравнение Шрёдингера. Для описания волновых свойств микрочастицы была введена комплексная функция координат и времени, называемая пси–функцией  , физический смысл и свойства которой рассматривались ранее. Эта функция является решением временного уравнения Шрёдингера , где  , m– масса микрочастицы, U(х, у, z, t) – потенциальная энергия силовом поле, в котором частицы  находится,  ,  – оператор Лапласа.  Это уравнение нерелятивистское, оно справедливо для любой микрочастицы, движущейся со скоростью   (с – скорость света в вакууме). Волновая функция   является функцией времени.

Условия:пси-функция должна быть однозначной, непрерывной и конечной (за исключением особых точек), она должна иметь непрерывную и конечную производную.

Стационарное уравнение Шрёдингера. Для широкого класса задач уравнение Шрёдингера можно упростить, исключив зависимость от времени. Это те задачи, в которых потенциальная энергия не зависит от времени, а зависит только от координат, т.е. силовое поле, в котором движется частица, стационарно. В этом случае решение уравнения Шрёдингера можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от координат, а другая – только от времени: . Если подставить в таком виде пси – функцию во временное  уравнение Шрёдингера, произвести дифференцирование и разделить правую и левую части этого уравнения на  , то получим: . Левая часть этого уравнения функция только координат, а правая – функция только времени. Поскольку обе части равны между собой, то каждая из них должна быть равна одной и той же постоянной которую обозначим  . Тогда уравнение представится в виде двух уравнений: , . Проделанная здесь операция представляет собой приведение дифференциального уравнения в частных производных к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям, что значительно упрощает решение уравнения Шрёдингера. Второе уравнения можно записать в виде   и проинтегрировать  . Результат интегрирования дает  . Постоянную интегрирования   можно положить равной нулю, что не приводит к потере общности, так как   всегда фигурирует в выражении в комбинации с  , а  тоже содержит постоянную в качестве множителя. Окончательно решение этого уравнения имеет вид:  . Первое уравнение зависит только от координат: и называют стационарным уравнением Шрёдингера. В это уравнение входит в качестве параметра величина  , которая играет роль полной энергии микрочастицы. В одномерном случае одномерное стационарное уравнение Шрёдингера имеет вид: .

33) Квантование энергии. Частица в прямоугольной потенциальной яме.

Некоторые физические величины, относящиеся к микрообъектам, изменяются не непрерывно, а скачкообразно. О величинах, которые могут принимать только вполне определенные, то есть дискретные значения (латинское "дискретус" означает разделенный, прерывистый), говорят, что они квантуются.

Одна из простейших задач о движении микрочастиц – это задача о движении в прямоугольной потенциальной яме с очень высокими стенками. Рассмотрим одномерный случай. (Трехмерные задачи сложны в математическом отношении, а практически все принципиальные особенности движения микрочастиц можно выявить и на одномерных задачах.) Изменение потенциальной энергии по оси x описывается формулой

Какие примеры движения окружающего мира хотя бы приближенно описываются такой потенциальной функцией?

• Вспомним "Кавказского пленника" (Л.Н.Толстой). Попавшего в плен Жилина держали в яме и требовали выкупа. Можно сказать, что для человека яма глубиной три метра – это яма с бесконечно высокими стенками. В ней человек может находиться в любом из состояний – от состояния покоя до интенсивного движения в бессильной ярости от невозможности выбраться на поверхность.

• Другой пример – лототрон. В нем шарики либо лежат на дне, либо скачут в ограниченном стенками пространстве.

В мире микрочастиц взаимодействие протона и нейтрона в ядре тяжелого водорода приближенно описывается прямоугольным потенциалом. Этот же потенциал – чрезвычайно грубое приближение к задаче о движении электрона в атоме. Существенным для всех примеров является ограничение движения некоторой областью значений x. Стенки "ящика" бесконечно круты и бесконечно высоки. Частица не может покинуть такую яму.

Всю область изменения переменной x разобьем на три (см. рисунок 1). Вероятность нахождения частицы в областях x < 0 и x > a равна нулю, так что волновая функция Ψ(x) = 0. В центральной части мы положили для удобства U(x) = 0 (известно, что потенциальная энергия определена с точностью до константы). В этом случае уравнение Шредингера принимает вид

,

где m и E – масса и полная энергия частицы, соответственно. Введем обозначение

.

Уравнение приобретает вид и имеет решение

.

Постоянные A, α и β мы найдем из условий непрерывности волновой функции и нормировки. На левой границе Ψ(0) = Asin(α) = 0 дает α = 0. На правой границе Ψ(a) = Asin(βa) = 0 приводит к βa = πn, где n = 1, 2, 3, ... Нулевое значение n в ряд допустимых значений не входит, т.к. иначе волновая функция везде бы обращалась в ноль. Движение частицы в потенциальной яме описывается набором волновых функций

.

Условие нормировки

.

Окончательный вид волновой функции

.

Возведем в квадрат левую и правую части равенства βa = πn, и вспомним, что значит β². Тогда получим выражение для энергии

   (